摘要:1 空间梁单元的自由度定义 对于具有两个节点的空间梁单元，设其节点坐标和相应的节点力如下: 节点(1): 节点(2): 式中， 为轴向力; 为xy平面内的剪力; 为xy平面内的弯矩; 为xz平面内的剪力; 为xz平面内的弯矩; 为扭矩。 2 空间梁单元的坐标变换 整体坐标系记
1 空间梁单元的自由度定义
对于具有两个节点的空间梁单元，设其节点坐标和相应的节点力如下:
节点(1):
节点(2):
式中，
为轴向力;
为xy平面内的剪力;
为xy平面内的弯矩;
为xz平面内的剪力;
为xz平面内的弯矩;
为扭矩。
节点(2):
式中，
为轴向力;为xy平面内的剪力;为xy平面内的弯矩;为xz平面内的剪力;为xz平面内的弯矩;为扭矩。
2 空间梁单元的坐标变换
整体坐标系记为OXYZ,梁单元的局部坐标系记为oxyz，其中ox轴正方向由i端截面形心指向j端面形心，y轴和z轴是梁截面的两个相互垂直的形心主轴，见图39.5-3。坐标变换公式具有如下形式:
由局部坐标向整体坐标的位移变换公式是
整体坐标系记为OXYZ,梁单元的局部坐标系记为oxyz，其中ox轴正方向由i端截面形心指向j端面形心，y轴和z轴是梁截面的两个相互垂直的形心主轴，见图39.5-3。坐标变换公式具有如下形式:
由局部坐标向整体坐标的位移变换公式是
节点力的变换公式是
单元刚度矩阵变换公式是
在三维空间中，设x,y,z是局部坐标系，X,Y, Z是整体坐标系，单元局部坐标系的三个坐标轴的方向余弦分别如下式:
坐标变换矩阵的具体计算方法包括如下步骤:
图39.5-3空间梁单元的坐标变换
1)局部坐标系x轴在整体坐标系中的方向余弦:
2)局部坐标系y轴在整体坐标系中的方向余弦。
现在讨论具有任意方向的空间梁单元。首先，由节点i,j在整体坐标系下的坐标即可确定
在整体坐标系中的三个方向余弦，即
其中
下面计算
和
在单元的主惯性平面oxy上任取一点k(但k点不能取在ox轴上)，k点在整体坐标系中的坐标记为
,沿向量
方向取向量g,g在整 体坐标系中的三个分量是
和在单元的主惯性平面oxy上任取一点k(但k点不能取在ox轴上)，k点在整体坐标系中的坐标记为,沿向量方向取向量g,g在整 体坐标系中的三个分量是
因z轴垂直于oxy平面，而
和g均在oxy平面上，故可取
上两式即计算
和
的公式。顺便说明，如果把k点取在oy轴上，则计算将更为简单。因而，对所讨论的具体问题而言，如果容易给出梁截面形心主轴oy上一点k的坐标，则应在oy轴上选取点k。计算
和
的具体步骤如下:
由向童叉乘法则：
再记
则再记
从而
最后有
即得在整体坐标系中的三个方向余弦为
计算步骤简述如下:
1)由给定的单元两端节点在整体坐标系下的坐标
和
，算出
和，算出
2)由给定的包含ox轴在内的单元主惯性平面上一点k的坐标
，算出
3)算出
当空间梁单元的一端或两端铰接时，可用凝聚自由度法对相关自由度进行处理.在相关的行列上补充0元素
，算出3)算出
4)算出矩阵
的第二行和第三行。
的第二行和第三行。
最后指出，点k不能取在ox轴上，否则
与g共线，
计算过程无法继续进行。
3 空间梁单元的单元刚度矩阵
与g共线，计算过程无法继续进行。3 空间梁单元的单元刚度矩阵
空间梁单元的12个自由度是
其中
式中 
为节点i在局部坐标系中3个方向的线位移;
为节点i处截面绕3个坐标轴的转角—
代表截面的扭转，
分别代表截面 在xz和xy坐标面内的转 动。三个线位移分别对应节点i的轴向力和xz、xy面内的剪力，三个转角对应节点i的扭矩和xz、xy面内的弯矩。
其中式中 为节点i在局部坐标系中3个方向的线位移;为节点i处截面绕3个坐标轴的转角—代表截面的扭转，分别代表截面 在xz和xy坐标面内的转 动。三个线位移分别对应节点i的轴向力和xz、xy面内的剪力，三个转角对应节点i的扭矩和xz、xy面内的弯矩。
单元内任意点的位移为
式中，N为形函数矩阵;轴向位移和扭转角采用线性位移场函数，
;横向位移采用
，。
式中，N为形函数矩阵;轴向位移和扭转角采用线性位移场函数，
;横向位移采用 ，。
设梁单元横截面面积为A，在xz面内截面惯性矩为
，在xy面内截面惯性矩为
，单元的扭转惯性矩为
，长度为l，材料弹性模量和切变模量为E、G。导出在局部坐 标系内的空间梁单元刚度矩阵是
，在xy面内截面惯性矩为，单元的扭转惯性矩为，长度为l，材料弹性模量和切变模量为E、G。导出在局部坐 标系内的空间梁单元刚度矩阵是 当空间梁单元的一端或两端铰接时，可用凝聚自由度法对相关自由度进行处理.在相关的行列上补充0元素
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