摘要:等参数单元通常也以位移作为基本未知量，广义坐标有限元法的一般格式对等参元同样适用。由于等参元的形函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算都是在自然坐标中规则的母单元内，因此需要作坐标转换，对广义坐标有限元法的一般格式加以修正，得到等参元的
等参数单元通常也以位移作为基本未知量，广义坐标有限元法的一般格式对等参元同样适用。由于等参元的形函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算都是在自然坐标中规则的母单元内，因此需要作坐标转换，对广义坐标有限元法的一般格式加以修正，得到等参元的一般格式。
l)母单元为
坐标系中的立方体单元系列。自然坐标有
坐标系中的立方体单元系列。自然坐标有
单元矩阵计算时，单元刚度矩阵和节点载荷列阵
的表达式变为如下形式:
单元刚度矩阵
式中
分布体积力的单元等效节点载荷
分布表面力的单元等效节点载荷
初应变与初应力的单元等效节点载荷
式中
2)母单元为体积坐标的四面体单元系列。自然坐标取体积坐标
，且它们不完全独立，令
，且它们不完全独立，令
单元矩阵计算时，单元刚度矩阵和节点载荷列阵的表达式变为如下形式:
单元刚度矩阵
分布体积力的单元等效节点载荷
分布表面力的单元等效节点载荷
初应变与初应力的单元等效节点载荷
式中
对于二维向题和一维问题只需要将以上各公式退化就可以得到母单元为正方形系列和三角形系列的二维等参元，以及直线系列的一维等参元的相应公式。
求解一维间题的数值积分
，积分点
的数目和位置决定了数值积分的精度。对于n个积分点，按照积分点位置的不同选择，通常采用两种不同的数值积分方案，即牛顿一科特(Newton-Gotes)积分方案和高斯(Gauss)积分方案。
，积分点的数目和位置决定了数值积分的精度。对于n个积分点，按照积分点位置的不同选择，通常采用两种不同的数值积分方案，即牛顿一科特(Newton-Gotes)积分方案和高斯(Gauss)积分方案。
(l)牛顿一科特斯积分 牛顿一科特斯积分中，积分点的位里按等间距分布，即
称为
阶的牛顿一科特斯数值积分常数。式中
对于三维积分
当应用数值积分进行求解时，数值积分的阶次将直接影响计算的精度和工作量，如果选择不当，会导致计算数据的不准确，甚至计算失败。
式中，h为积分点间距，
牛顿一科特斯数值积分式如下:
式中为
余项;
为积分的加权系数，简称权。
余项;为积分的加权系数，简称权。
其中
称为阶的牛顿一科特斯数值积分常数。式中
(2)高斯积分法
高斯积分法是计算复杂的定积分时通常采用的一种数值方法。在一维高斯积分中，积分点
不是等间距分布的，积分点
应是勒让穗(Legendre)多项式
的根。
不是等间距分布的，积分点应是勒让穗(Legendre)多项式的根。
一维高斯数值积分如下:
其中加权系数城按下式计算:
积分点坐标
及其对应的加权系数见表39.3-5。逐次利用一维高斯求积公式可以构造出二维和三维高斯求积公式。
及其对应的加权系数见表39.3-5。逐次利用一维高斯求积公式可以构造出二维和三维高斯求积公式。
对于二维积分:
对于三维积分
当应用数值积分进行求解时，数值积分的阶次将直接影响计算的精度和工作量，如果选择不当，会导致计算数据的不准确，甚至计算失败。
选择积分阶次的原则如下:
1)保证积分的精度。
2)保证结构整体刚度矩阵K是非奇异的。
高斯积分的阶数通常根据等参元的维数和节点数来选取。例如，平面4节点等参元可取2阶，平面8节点等参元可取3阶，空间8节点等参元可取2阶，而空间20节点等参元可取3阶。
(责任编辑：laugh521521)
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