摘要:设一个平面梁单元有两个节点，如图39.5-2所示。在局部坐标系内，平面梁单元定义有6个自由度: 图39.5一平面梁单元 略去轴向位移，平面梁单元有如下4个自由度 对于平面梁单元，其弯曲变形的位移场 设为下式: 以及 代人节点位移和节点坐标， (其中，I为梁单元的
设一个平面梁单元有两个节点，如图39.5-2所示。在局部坐标系内，平面梁单元定义有6个自由度:
图39.5一平面梁单元
略去轴向位移，平面梁单元有如下4个自由度
对于平面梁单元，其弯曲变形的位移场
设为下式:
以及
代人节点位移和节点坐标，
(其中，I为梁单元的长度），得到
得到用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移是
式中，N(x)为平面梁单元的形函数:
为节点位移向量，
。对于
(其中，I为梁单元的长度），得到
得到用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移是
式中，N(x)为平面梁单元的形函数:
为节点位移向量，。对于
式中N(x)的具体表达式是
根据最小势能原理导出单元刚度矩阵。弯曲梁的应变能是
式中
其中
代人粱单元应变能公式，同时假设El对于该单元而言是常童，得单元应变能
节点位移向量
不是x的函数，上式可以写成
不是x的函数，上式可以写成
应变能的一般形式可以表达成
式中，
为平面梁单元的单元刚度矩阵，即
为平面梁单元的单元刚度矩阵，即
考虑到B是x的函数，上式积分后得局部坐标系下的平面梁单元的单元刚度矩阵
前面给出的平面单元刚度矩阵是局部坐标系下的表达式，其坐标方向是由单元方向确定的。在各自的局部坐标系下，各个不同方向的梁单元都具有统一形式的单元刚度矩阵。 在组集整体刚度矩阵时，必须建立一个统一的整体坐标系，将所有单元上的节点力、节点位移和单元刚度矩阵都进行坐标变换，变成整体坐标系下的表达式之后，再组集成整体 刚 度矩阵。局部坐标系向整体坐标系的转换关系如下:
设
，分别表示局部坐标系
下的单元节点力(包括等效节点力)、节点位移和单元刚度矩阵，
分别表示整体坐标系0xyz下的单元节点力、节点位移和单元刚度矩阵，T是两种坐
设
，分别表示局部坐标系下的单元节点力(包括等效节点力)、节点位移和单元刚度矩阵，分别表示整体坐标系0xyz下的单元节点力、节点位移和单元刚度矩阵，T是两种坐
标系之间的转换矩阵。两种坐标系下的节点载荷、节点位移和单元刚度矩阵的变换关系为
其中坐标变换矩阵为
式中，θ是
轴相对于x轴的夹角。可以证明，转换矩阵T的逆矩阵等于它的转置矩阵。(责任编辑：laugh521521)
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