摘要:在有限元法中，形函数是一个十分重要的概念。它不仅可以用做单元的内插函数，把单元内任一点的位移用节点位移表示，而且可作为加权余量法中的加权函数，可以处理外载荷，将分布力等效为节点上的集中力和力矩，此外，它还可用于后续的等参数单元的坐标变换等
在有限元法中，形函数是一个十分重要的概念。它不仅可以用做单元的内插函数，把单元内任一点的位移用节点位移表示，而且可作为加权余量法中的加权函数，可以处理外载荷，将分布力等效为节点上的集中力和力矩，此外，它还可用于后续的等参数单元的坐标变换等。
1形函数的构造原理
单元形函数主要取决于单元的形状、节点类型和单元的节点数目。节点的类型可以是只包含场函数的节点值，也可能还包含场函数导数的节点值。是否需要场函数导数的节点值作为节点变量，一般取决于单元边界上的连续性要求:如果边界上只要求函数值保持连续，称为co型单元;若要求函数值及其一阶导数值都保持连续，则是cl型单元。
在有限元中，单元插值形函数均采用不同阶次的幕函数多项式形式。对于co型单元，单元内的未知场函数的线性变化仅用角(端)节点的参数来表示。节点参数只包含场函数的节点值。而对于C1型单元，节点参数中包含场函数及其一阶导数的节点值。与此相对应，形函数可分为拉格朗日(Lagrange)型(不需要函数在节点上的斜率或曲率)和厄米特( Hermite)型(需要形函数在节点上的斜率或曲率)两大类。而形函数的幕次则是指所采用的多项式的幂次，可能具有一次、二次、三次或更高次等。
另外，有限元形函数N是坐标x、y、z的函数，而节点位移不是x、y、z的函数，因此静力学中的位移对坐标徽分时，只对形函数N作用，而在动力学中位移对时间t微分时，只对节点位移列阵起作用。
1.1常用单元的形函数
(1)一维一次两节点单元(杆单元)
设位移函数u(x)沿x轴成线性变化，即
位移函数u(x)记做形函数与节点参数乘积的形
得到形函数为
(2)二维一次三节点单元(平面三角形单元)
在总体坐标系统下，任一点的某一方向的位移是
设三个节点的坐标是
为三个节点在某方向上的位移，具
有如下关系:
得到形函数矩阵如下:
(3)三维一次四节点单元(三维四面体单元)
在总体坐标系统下，任一点的某一方向的位移是
得到
形函数矩阵如下:
(4)一维二次三节点单元(高次单元)
设位移函数为
上式等号右端第一项矩阵即形函数矩阵。
(5)一维三次四节点单元(Lagrange型)
位移函数为三次方程
需要四个节点参数才能唯一地确定其中的常系数。这四个节点可以分别取两个端点和两个三分点。
得到如下形函数方程:
其中形函数中的各元素为
（6）一维三次二节点单元（Hermite型）（平面梁单元）
单元的位移函数为
对应的转角方程为
用节点参数
代人求解
，即
得到
代人求解，即得到
其中形函数矩阵中各元素为
(7)二维一次四节点单元(平面四边形单元或矩形单元)
其中形函数矩阵的元素为
形函数的表达方式为
4)三维单元的情况，见图39.4-7.
(7)二维一次四节点单元(平面四边形单元或矩形单元)
用形函数表达的位移方程如下:
其中形函数矩阵的元素为
(8)三维一次八节点单元(Brick单元)
在三维一次单元形函数中，函数值沿三坐标轴(x、y、z轴)成线性变化。假设位移函数沿各坐标轴的线性变化u=u(x,y,z)可写成
假设在i节点的位移值为
，并将数值代人上式，其他各节点（j,k,l,m,n,p,q）以此类推，共有8个式子，其中第1式如下:
，并将数值代人上式，其他各节点（j,k,l,m,n,p,q）以此类推，共有8个式子，其中第1式如下:
可以求得
形函数的表达方式为
1.2形函数的构造规律—帕斯卡三角形
上述各种位移函数的构造有一定的规律，可以根据所谓的帕斯卡三角形加以确定，同时，这样制订的位移模式，还能够满足有限元的收敛性要求。以下是几种典型情况。
1)一维两节点单元的情况，见图39.4-1,
2)一维三节点单元的情况，见图39.4-2.
3)二维高阶单元的情况，见图39.4-3~图39.4-6.
4)三维单元的情况，见图39.4-7.
图39.4一三维单元的形函数组成
由以上可以看出，形函数可以按照帕斯卡三角形构造，具体方法是
1)按照所研究间题的维数绘制坐标轴，一维对应一个坐标轴，二维对应两个坐标轴，三维对应三个坐标轴。
2)按照所选单元的节点数，用三角形、矩形或长方体在帕斯卡三角形上圈定相应区域。
3)对应写出位移函数的插值公式，即形函数。
(责任编辑：laugh521521)
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