描述函数法

2016-03-11 15:47 作者:管理员11 来源:未知 浏览: 字号:

摘要:描述函数法 描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年首先提出的,其基本思想是:当系统满足一定 的假设条件时,系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似,由此导出 非线性环节的近似等效频率特性,即描述函数。这时非线性系统就近似等

描述函数法
    描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年首先提出的,其基本思想是:当系统满足一定
的假设条件时,系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似,由此导出
非线性环节的近似等效频率特性,即描述函数。这时非线性系统就近似等效为一个线性系统,并
可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。
    描述函数法主要用来分析在无外作用的情况下,非线性系统的稳定性和自振荡问题,并且不
受系统阶次的限制,一般都能给出比较满意的结果,因而获得了广泛的应用。但是由于描述函数
对系统结构、非线性环节的特性和线性部分的性能都有一定的要求,其本身也是一种近似的分析
方法,因此该方法的应用有一定的限制条件。另外,描述函数法只能用来研究系统的频率响应特
性,不能给出时间响应的确切信息。
1.描述函数的基本概念
    (l)描述函数的定义
    设非线性环节输入输出描述为
               y=f(x)    (8-50)
当非线性环节的输入信号为正弦信号
              x(t)=Asinωt    (8-51)
时,可对非线性环节的稳态输出y(t)进行谐波分析。一般情况下,y(t)为非正弦的周期信号,因而
可以展开成傅里叶级数:


    一般情况下,描述函数N是输入信号幅值A和频率ω的函数。当非线性环节中不包含储能元
件时,其输出的一次谐波分量的幅值和相位差与ω无关,故描述函数只与输入信号幅值以有关。
至于直流分量,若非线性环节的正弦响应为关于t的奇对称函数,即


    (2)非线性系统描述函数法分析的应用条件
    1)非线性系统应简化成一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式,如
图8-36所示。
非线性系统典型结构形式

    3)系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。当非线性环节的输入为正弦信号时,实际
输出必定含有高次谐波分量,但经线性部分传递之后,由于低通滤波的作用,高次谐波分量将被
大大削弱,因此闭环通道内近似地只有一次谐波分量流通,从而保证应用描述函数分析方法所得
的结果比较准确,对于实际的非线性系统,大部分都容易满足这一条件。线性部分的阶次越高,
低通滤波性能越好,而欲具有低通滤波性能,线性部分的极点应位于复平面的左半平面。
    (3)描述函数的物理意义
    线性系统的频率特性反映正弦信号作用下,系统稳态输出中与输入同频率的分量的幅值和
相位相对于输入信号的变化;而非线性环节的描述函数则反映非线性系统正弦响应中一次谐波
分量的幅值和相位相对于输入信号的变化,因此忽略高次谐波分量,仅考虑基波分量,非线性环
节的描述函数表现为复数增益的放大器。
    值得注意的是,线性系统的频率特性是输入正弦信号频率ω的函数,与正弦信号的幅值A
无关,而由描述函数表示的非线性环节的近似频率特性则是输入正弦信号幅值A的函数,因而
描述函数又表现为关于输入正弦信号的幅值A的复变增益放大器,这正是非线性环节的近似频
率特性与线性系统频率特性的本质区别。当非线性环节的频率特性由描述函数近似表示后,就可
以推广应用频率法分析非线性系统的运动性质,问题的关键是描述函数的计算。
2.典型非线性特性的描述函数
    典型非线性特性具有分段线性特点,描述函数的计算重点在于确定正弦响应曲线和积分区
间,一般采用图解方法,下面针对两种典型非线性特性,介绍计算过程和步骤。
    (1)死区饱和非线性环节
    将正弦输入信号x(t)、非线性特性y(x)和输出信号y(t)的坐标按图8-37所示方式和位置
旋转,由非线性特性的区间端点(△,y(△))和(a,y(a))可以确定y(t)关于ωt的区间端点φ1和
死区饱和特性和正弦响应曲线
φ2,死区饱和特性及其正弦响应如图8-37所示。输出y(t)的效学表达式为


(2)死区与滞环继电非线性环节
死区滞环继电特性和正弦响应曲线
    注意到滞环与输入信号及其变化率的关系,通过
作图法获得y(t)如图8-38所示,输出y(t)的数学表
达式为


非线性特性及其描述函数1
非线性特性及其描述函数2
非线性特性及其描述函数3
3.非线性系统的简化
    非线性系统的描述函数分析建立在图8-36所示的典型结构基础上。当系统由多个非线性环
节和多个线性环节组合而成时,在一些情况下,可通过等效变换使系统简化为典型结构形式。
    等效变换的原则是在r(t)=0的条件下,根据非线性特性的串、并联,简化非线性部分为一个
等效非线性环节,再保持等效非线性环节的输入输出关系不变,简化线性部分。
    (l)非线性特性的并联
    若两个非线性特性输入相同,输出相加、减,则等效非线性特性为两个非线性特性的叠加。图
8-39为死区非线性和死区继电非线性并联的情况。
非线性特性并联时的等效非线性特性
    由描述函数定义,并联等效非线性特性的描述函数为各非线性特性描述函数的代数和。
    (2)非线性特性的串联
    若两个非线性环节串联,可采用图解法简化。以图8-40所示死区特性和死区饱和特性串联
简化为例。
非线性特性串联
    通常,先将两个非线性特性接图8-41(a), (b)形式放置,再按输出端非线性特性的变化端点
△2和a2确定输入x的对应点△和a,获得等效非线性特性如图8-41 (c)所示,最后确定等效非线
非线性串联简化的图解方法

    应该指出,两个非线性环节的串联,等效特性还取决于其前后次序,调换次序则等效非线性
特性亦不同。描述函数需按等效非线性环节的特性计算。多个非线性特性串联,可按上述两个非
线性环节串联简化方法,依由前向后顺序逐一加以简化。
    (3)线性部分的等效变换
    考虑图8-42(a)示例,按等效变换原则,调换综合点,系统可表示为图8-42(b)形式,再按线
性系统等效变换得典型结构形式,见图8-42(c)。
非线性系统等效变换
4.非线性系统稳定性分析的描述函数法
    若非线性系统经过适当简化后,具有图8-36所示的典型结构形式,且非线性环节和线性部
分满足描述函数法应用的条件,则描述函数可以作为—个具有复变增益的比例环节。于是非线性
系统经过谐波线性化已变成一个等效的线性系统,可以应用线性系统理论中的频率域稳定判据
分析非线性系统的稳定性。
    (l)变增益线性系统的稳定性分析
    为了应用描述函数分析非线性系统的稳定性,有必要研究图8-43(a)所示线性系统的稳定
性,其中K为比例环节增益。设G(s)的极点均位于s的左半平面,即P=0,G(jw)的奈奎斯特曲
线ΓG如图8-43 (b)所示。闭环系统的特征方程为
    1+ KG(jω)=0    (8-82)
可变增益的线性系统

    (2)应用描述函数分析非线性系统的稳定性
    上述分析为应用描述函数判定非线性系统的稳定性奠定了基础。由于要求G(s)具有低通特
性,故其极点均应位于s的左半平面。当非线性特性采用描述函数近似等效时,闭环系统的特征
方程为




例8-5系统稳定性分析
(3)非线性系统存在周期运动时的稳定性分祈

    由上两式可解得交点处的频率ω和幅值A。系统处于周期运动时,非线性环节的输入近似为
等幅振荡
    x(t)= Asinωt
即每一个交点对应着一个周期运动。如果该周期运动能够维持,即在外界小扰动作用下使系统偏
离该周期运动,而当该扰动消失后,系统的运动仍能恢复原周期运动,则弥为稳定的周期运动。图
8-47给出了非线性系统存在周期运动的四种形式,图中ΓG曲线和-1/N(A)的交点为N0=
-1/N(A0),负倒描述函数上的一点Ni对应的幅值为Ai。
存在周期运动的非线性系统
    对于图8-47(a)所示系统,设系统周期运动的幅值为A0。当外界扰动使非线性环节输入振幅
减小为A1时,由于ГG曲线包围[-1/N(A1),j0]点,系统不稳定,振幅将增大,最终回到N0点;当外
界扰动使输入振幅增大为Az,由于ГG曲线不包围[-1/N(A2),j0]点,系统稳定,振幅将衰减,最终
也将回到N0点。这说明N0点对应的周期运动是稳定的。
    对于图8-47(b)所示系统,一N(A)曲线的运动方向与图8-47(a)相反,当外扰动使系统偏离
周期运动至N2点,即使其幅值由A0增大为A2时,系统不稳定,振幅将进一步增大,最终发散至无
穷}而当外扰动使系统偏离周期运动至N1点,即使其幅值由A0减小为A1时,系统稳定,振幅将进
一步减小,最终衰减为零。这表明N0点对应的周期运动是不稳定的。
    对于图8-47(c)所示系统ГG曲线和-1/N(A)曲线有两个交点N10和N20,系统中存在两个周期
运动,幅值分别为A10和A20,仿上分析可知,在Nzo点,外界小扰动使系统运动偏离该周期运动后,
系统运动仍然能恢复该周期运动;而在N10点,只要有外界扰动使系统运动偏离该周期运动,则系
统运动或收敛至零,或趋向于N20点对应的周期运动。因此,N10点对应的周期运动是不稳定的,
Nzo点对应的周期运动是稳定的。
    对于图8-47(d)所示系统,Гc曲线和-1/N(A)巧有两个交点N10和N20,表明系统中存在幅值为
A10和A20的两个周期运动,N10点对应的周期运动是稳定的;N20点对应的周期运动是不稳定的,
外界小扰动或使系统运动发散至无穷,或趋向于幅值N10点对应的周期运动。
    综合上述分析过程,在复平面上可将n曲线包围的区域视为不稳定区域,心曲线不包围的
区域视为稳定区域,则有下述周期运动稳定性判据:
    在ГG曲线和-1/N(A)曲线的交点处,若-1/N(A)曲线沿着振幅^增加的方向由不稳定区域
进入稳定区域时,该交点对应的周期运动是稳定的。反之,若-1/N(A)曲线沿着振幅A增加的方
,向在交点处由稳定区域进入不稳定区域时,该交点对应的周期运动是不稳定的。
    图8-47的分析表明,非线性系统存在周期运动时,系统运动的分析是较为复杂的。图8-47
(b)所示系统,系统运动收敛至零还是发散至无穷,均取决于初始条件,即使系统处于零平衡状
态,但受到大的扰动仍将发散至无穷.图8-47(c)所示系统,当初始条件为以较大时(A>A10),将
产生稳定的周期运动。而图8-47(d)所示系统,则当初始条件为A较小时(A≤A20),将产生稳定
的周期运动。因而,这样的系统产生自激振荡是有条件的。此外还应注意到这类系统稳定的周期
运动只是对扰动的一定范围具有稳定性,当扰动较大时,系统将停振或发散至无穷,由于系统不
可避免地存在各种扰动因素,因此不稳定的周期运动在系统中不可能出现,而欲利用非线性系统
产生不受扰动影响的自激振荡,应选图8-47(a)所示的系统。
    最后还需指出,应用描述函数法分析非线性系统运动的稳定性,都是建立在只考虑基波分量
的基础之上的,实际上,系统中仍有一定量的高次谐波分置流通,系统自振荡波形并非纯正弦波,
因此分析结果的准确性还取决于ΓG曲线与-1/N(A)曲线在交点处的相对运动。若交点处两条曲
线几乎垂直相交,且非线性环节输出的高次谐波分量被线性部分充分衰减,则分析结果是准确
的。若两曲线在交点处几乎相切,则在一些情况下(取决于高次谐波的衰减程度)不存在自振荡。
    例8-6 设具有饱和非线特性的控制系统如图8-48所示,试分析:
    1) K-15时非线性系统的运动;
    2)欲使系统不出现自振荡,确定K的临界值。


例8-7 设非线性系统如图8-50所示,试采用描述函数法分析:


    根据周期运动稳定性判据知,A1和ω1对应不稳定的周期运动;A2和ω2对应稳定的周期运
动。当初始条件或外扰动使A<A1,则系统运动不存在自振荡,稳态误差丨e丨<h;当初始条件或外
扰动使A>A1时,则系统产生自振荡,e(t)=l.146sin4t。

γ(A)≥γm
因此加入串联超前校正网络,可以使非线性系统消除自振,且使系统具有一定的相角裕度。当然
也可以通过减小线性部分的增益消除自振,但这样做会使系统响应的快速性降低。
例8-7非线性系统的频率特性

    最后指出:在掌握描述函数法基本理论的基础上,应用MATLAB软件可作出-1/N(A)和
G(jω)曲线,便于分析非线性系统的稳定性和自振荡。
(责任编辑:laugh521521)
文章分享:

标签:
版权所有: 非特殊声明均为本站原创文章,转载请注明出处: 机械资料网
订阅更新: 您可以通过RSS订阅我们的内容更新