相平面法

2016-03-08 14:08 作者:管理员11 来源:未知 浏览: 字号:

摘要:相平面法 相平面法由庞加莱1885年首先提出。该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化 为位置和速度平面上的相轨迹,从而比较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态和稳态精度 以及初始条件及参数对系统运动的影响。相轨迹的绘制方法步骤简单、计算


相平面法
    相平面法由庞加莱1885年首先提出。该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化
为位置和速度平面上的相轨迹,从而比较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态和稳态精度
以及初始条件及参数对系统运动的影响。相轨迹的绘制方法步骤简单、计算量小,特别适用于分
析常见非线性特性和一阶:二阶线性环节组合而成的非线性系统。
1.相平面的基本概念
    考虑可用下列常微分方程描述的二阶时不变系统:


其中f(x,x·)是x(t)和x·(t)的线性或非线性函数。该方程的解可以用x(t)的时间函数曲线表示,
也可以用x·(t)和x(t)的关系曲线表示,而t为参变量。x(t)和x·(t)称为系统运动的相变量(状态
变量),以x(t)为横坐标,x·(t)为纵坐标构成的直角坐标平面称为相平面。相变量从初始时刻t0
对应的状态点(x0,x·0)起,随着时间t的推移,在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹。在相轨迹
上用箭头符号表示参变量时间t的增加方向。根据微分方程解的存在与唯一性定理,对于任一给
定的初始条件,相平面上有一条相轨迹与之对应。多个初始条件下的运动对应多条相轨迹,形成
相轨迹簇,而由一簇相轨迹所组成的图形称为相平面图。
    若已知z和x的时间响应曲线如图8-l0(b),(c)所示,则可根据任一时间点的x(t)和x·(t)
的值,得到相轨迹上对应的点,并由此获得一条相轨迹,如图8-10(a)所示。
x(t),x·(t)及其相轨迹曲线
    相轨迹在某些特定情况下,也可以通过积分法,直接由微分方程获得x·(t)和x(t)的解析关
  系式。因为

弹簧-质量运动系统
    例8-1 某弹簧-质量运动系统如图8-11所示,图中优为物体的质
量,k为弹簧的弹性系数,若初始条件为x(0)=x0,x·(0)=x·0,试确定系
统自由运动的相轨迹.
    解描述系统自由运动的微分方程式为


例8-1弹簧-质量系统的相轨迹
2.相轨迹绘制的等倾线法
    等倾线法是求取相轨迹的一种作图方法,不需
求解微分方程。对于求解困难的非线性微分方程,图
解方法显得尤为实用。
    等倾线法的基本思想是先确定相轨迹的等倾
线,进而绘出相轨迹的切线方向场,然后从初始条件
出发,沿方向场逐步绘制相轨迹。
    由式(8-16)可得相轨迹微分方程

  给出了相轨迹在相平面上任一点(x,x·)处切
线的斜率。取相轨迹切线的斜率为某一常数a,得等倾线方程

由该方程可在相平面上作一条曲线,称为等倾线。当相轨迹经过该等倾线上任一点时,其切线的
斜率都相等,均为a。取a为若干不同的常数,即可在相平面上绘制出若干条等倾线,在等倾线上
各点处作斜率为a的短直线,并以箭头表示切线方向,则构成相轨迹的切线方向场。
    在图8-13中,已绘制某系统的等倾线和切线方向场,给定初始点(x0,x·0),则相轨迹的绘制
过程如下:
    由初始点出发,按照该点所处等倾线的短直线方向作一条小线段,并与相邻一条等倾线相
交;由该交点起,并按该交虑所在等倾线的短直线方向作一条小线段,再与其相邻的一条等倾线
相交,循此步骤依次进行,就可以获得一条从初始点出发,由各小线段组成的折线,最后对该折线
作光精处理,即得到所求系统的相轨迹。
使用等倾线法绘制相轨迹应注意以下几点:
    1)坐标轴x和x·应选用相同的比例尺,以便于
根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹
切线。
    2)在相平面的上半平面,由于x·>0,则x随t增
大而增加,相轨迹的走向应是由左向右;在相平面的
下半平面x·<0,则x随t增大而减小,相轨迹的走向
应由右向左。
    3)除系统的平衡点外,相轨迹与x轴的相交点
处切线斜率a=f(x,x·)/x·应为+∞或-∞,即相轨迹
与x轴垂直相交。
    4)一般地,等倾线分布越密,则所作的相轨迹越
准确。但随所取等倾线的增加,绘图工作量增加,同时也使作图产生的积累误差增大。为提高作
图精度,可采用平均斜率法,即取相邻两条等倾线所对应的斜率的平均值为两条等倾线间直线的
斜率。
用等倾线法绘制相轨迹

3.线性系统的相轨迹
    线性系统是非线性系统的特例,对于许多非线性一阶和二阶系统(系统中所含非线性环节可
用分段折线表示),常可以分成多个区间进行研究,而在各个区间内,非线性系统的运动特性可用
线性微分方程描述;此外,对于某些非线性微分方程,为研究各平衡状态附近的运动特性,可在平
衡点附近作增量线性化处理,即对非线性微分方程两端的各非线性函数作泰勒级数展开,并取一
次项近似,获得平衡点处的增量线性微分方程。因此,研究线性一阶、二阶系统的相轨迹及其特点
是十分必要的。下面研究线性一阶、二阶系统自由运动的相轨迹,所得结论可作为非线性一阶、二
阶系统相平面分析的基础。
    (1)线性一阶系统的相轨迹
  描述线性一阶系统自由运动的微分方程为

线性一阶系统的相轨迹
    由图8-14知,相轨迹位于过原点,斜率为-1/T的直线上,当T>O时,相轨迹沿该直线收敛于
原点;当T<0时,相轨迹沿该直线发散至无穷。
    (2)线性二阶系统的相轨迹
    描述线性二阶系统自由运动的微分方程为

    该式表明,特殊的等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率,即当相轨迹
运动至特殊的等倾线上时,将沿着等倾线收敛或发散,而不可能脱离该等倾线。下面就线性二阶
微分方程参数b<0,b=0和b>0的七种不同情况加以具体讨论,其相轨迹曲线采用等倾线法或
解析法绘制而得。
    1) b<0。系统特征根

s1,s2为两个符号相反的互异实根,系统相平面图见图8-15。
    由图可见,图中两条特殊的等惯线是相轨迹,也是其他相
轨迹的渐近线,此外作为相平面的分隔线,还将相平面划分为
四个具有不同运动状态的区域,当初始条件位于c·=s2c对应的
相轨迹上时,系统的运动将趋于原点,但只要受到极其微小的
扰动,系统的运动将偏离该相轨迹,并最终沿着c·=s1c对应的
相轨迹的方向发散至无穷。因此,b<0时,线性二阶系统的运动
是不稳定的。
    2) b=0。系统特征根为
    S1=0, s2=-a

b<0时线性二阶系统相平面图
相平面图见图8-16,相轨迹为过初始点(c0,c·0),斜
率为-a的直线。当a>0时,相轨迹收敛并最终停
止在c轴上;a<0时,相轨迹发散至无穷。
b=0时线性二阶系统的相平面图



由式(8-28)知,线性二阶系统的等倾线斜率为

    当等倾线位于第Ⅰ,Ⅲ象限时,k>0,则a<0。故在第Ⅰ象限,c增大,c·减小;在第Ⅲ象限,c
减小,c·增大。在第Ⅱ(或第Ⅳ)象限,两条特殊相轨迹将该象限划分为A,B和C三个区域,如图
8-19所示。因为

ζ>1时线性二阶系统的相平面图
ζ>1时线性二阶系统相轨迹的运动
    对于A区内任意一条k=kA的等倾线,由于0>kA>s1>s2,故aA>kA,相轨迹趋近于特殊等
倾线c·=s1C;对于B区内任一条k=kB的等倾线,由于sl>kB>S2,散αB<kB,相轨迹亦趋近于特
殊等倾线c·=s1c,偏离特殊等倾线c·=s2c;而当等倾线位于C区时,kc<s2 <s1,则ac>kc,相轨迹
偏离c·=s2c。由以上分析亦可知,相轨迹描c·=s2c的运动是不稳定的,稍有扰动,则偏离该相轨
迹,最终措等倾线c·=s1c的方向收敛至原点。
    根据时域分析结果,ζ>1的线性二阶系统的自由运动为


  ③ζ=1。系统特征根为两个相等的负实根,取ωn=1,其
相平面图见图8-20。与ζ>1相比,相轨迹的渐近线即特殊等
倾线蜕化为一条,不同初始条件的相轨迹最终将沿着这条特
殊的等倾线趋于原点。
ζ=1,ωn=1时线性二阶系统的相平面图
    ④ζ=0。系统特征根为一对纯虚根s1,2=±jωn,系统的自由运动为等幅正弦振荡。给定初
始点(c0,c·0),仿照例8-1,采用直接积分方法可得系统的相轨迹方程

显然,上式为相平面的椭圆方程。系统的相平面图为围绕坐标原点的一簇椭圆,见图8-21。椭圆
的横轴和纵轴由初始条件给出。
    ⑤-1<ζ<0。系统特征根为一对具有正实都的共轭复根,系统自由运动呈发散振荡形式。
取ζ=-0.5,ωn=1时,系统相轨迹如图8-22所示,为离心螺旋线,最终发散至无穷。
ζ=0时线性二阶系统的相平面图
ζ=-0.5,ωn=1时线性二阶系统相平面图

    当ζ=-1时,系统特征根为两个相同的正实根,存在一条特殊的等倾线。系统相轨迹发散,
相平面图如图8-24所示。
ζ<-1时线性二阶系统相平面图
ζ=-1时线性二阶系统的相平面图
    应当指出,二阶系统的相轨迹可应用MATLAB软件包,运行相应的M文本,在相平面上精
确绘制,并可方便地给出相应的时间响应曲线,便于对比分析。
4.奇点和奇线
    系统分析的目的是确定系统所具有的各种运动状态及其性质。对于非线性系统,平衡状态和
平衡状态附近系统的运动形式以及极限环的存在制约着整个系统的运动特性,为此必须加以讨
论和研究。
    (1)奇点

    线性二阶系统为非线性二阶系统的特殊情况。按前分析,特征根在s平面上的分布,决定了
系统自由运动的形式,因而可由此划分线性二阶系统奇点(0,0)的类型:
    1)焦点。当特征根为一对具有负实部的共轭复根时,奇点为稳定焦点,见图8-17;当特征根
为一对具有正实部的共轭复根时,奇点为不稳定焦点,见图8-22。
    2)节点。当特征根为两个负实根时,奇点为稳定节点,见图8-18;当特征根为两个正实根时,
奇点为不稳定节点,见图8-23.
    3)鞍点。当特征根一个为正实根,一个为负实根时,奇点为鞍点,见图8-15。
    此外,若线性一阶系统的特征根为负实根(奇点为原点)或线性二阶系统的特征根一个为零
根,另一个为负实根时(奇点为横轴),相轨迹线性收敛}若线性一阶系统的特征根为负实根时或
线性二阶系统一个根为零根,另一个根为正实根时,则相轨迹线性发散。系统相平面图如图8-14
和图8-16所示。
    对于非线性系统的各个平衡点,若描述非线性过程的非线性函数解析时,可以通过平衡点处
的线性化方程,基于线性系统特征根的分布,确定奇点的类型,进而确定平衡点附近相轨迹的运

特性,将相平面划分为若干个区域,在各个区域,非线性方程中f(x,x·)或满足解析条件或可直接
表示为线性微分方程。当非线性方程在某个区域可以表示为线性微分方程时,则奇点类型决定该
区域系统运动的形式。若对应的奇点位于本区域内,则称为实奇点;若对应的奇点位于其他区域,
则称为虚奇点。
    (2)奇线
    奇线就是特殊的相轨迹,它将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域。最常见的奇线是
极限环。由于非线性系统会出现自振荡,因此相应的相平面上会出现一条孤立的封闭曲线,曲线
附近的相轨迹都渐近地趋向这条封闭的曲线,或者从这条封闭的曲线离开,见图8-25,这条特殊
的相轨迹就是极限环.极限环把相平面划分为内部平面和外部平面两部分,相轨迹不能从环内穿
越极限环进入环外,或者相反.这样就把相平面划分为具有不同运动特点的各个区域,所以,极限
环也是相平面上的分隔线,它对于确定系统的全都运动状态是非常重要的。
    应当指出,不是相平面内所有的封闭曲线都是极限环.在无阻尼的线性二阶系统中,由于不
存在由阻尼所造成的能量损耗,因而相平面图是一簇连续的封闭曲线,这类闭合曲线不是极限
环,因为它们不是孤立的,在任何特定的封闭曲线邻近,仍存在着封闭曲线。而极限环是相互孤立
的,在任何极限环的邻近都不可能有其他的极限环,极限环是非线性系统中的特有现象,它只发
生在非守恒系统中t这种甩期运动的原因不在于系统无阻尼.而是系统的非线性特性,它导致系
统的能量作交替变化,这样就有可能从某种非周期性的能源中获取能量,从而维持周期运动。
    根据极限环邻近相轨迹的运动特点,可以将极限环分为以下三种类型,
    1)稳定的极限环。当t→∞时,如果起始于极限环内部或外部的相轨迹均卷向极限环,则该
极限环叫做稳定的极限环,见图8-25 (a)。极限环内部的相轨迹发散至极限环,说明极限环的内
部是不稳定区域;极限环外部的相轨迹收敛至极限环,说明极限环的外部是稳定区域,因为任何
微小扰动使系统的状态离开极限环后,最终仍会回到这个极限环,说明系统的运动表现为自振
荡,而且这种自振荡只与系统的结构参数有关,与初始条件无关。
极限环的类型及其过渡过程
    2)不稳定的极限环。当t→∞时,如果起始于极限环内部或外部的相轨迹均卷离极限环,则
该极限环叫做不稳定的极限环,见图8-25(b)。极限环内部的相轨迹收敛至环内的奇点,说明极
限环的内部是稳定区域;极限环外部的相轨迹发散至无穷远处,说明极限环的外部是不稳定区
域,极限环所表示的周期运动是不稳定的,任何微小扰动,不是使系统的运动收敛于环内的奇点,
就是使系统的运动发散至无穷。
    3)半稳定的极限环。当t→∞时,如果起始于极限环内(外)都的相轨迹卷向极限环,而起始
于极限环外(内)部的相轨迹卷离极限环,则这种极限环叫做半稳定的极限环,见图8-25 (c)和
(d)。图8-25(e)所示的极限环,其内部和外部都是不稳定区域,极限环所表示的周期运动是不稳
定的,系统的运动最终将发散至无穷远处。图8-25(d)所示的极限环,其内部和外部都是稳定区
域,极限环所表示的周期运动是稳定的,系统的运动最终将收敛至环内的奇点。
    在一些复杂的非线性控制系统中,有可能出现两个或两个以上的极限环,图8-26是有两个
极限环的例子,里面的一个是不稳定的极限环;外边的一个是
稳定的极限环,这时非线性系统的工作状态,不仅取决于初始
条件,也取决于扰动的方向和大小。应该指出,只有稳定的极限
环才能在实验中观察到,不稳定或半稳定的极限环是无法在实
验中观察到的。
双极限环

    例8-2 已知非线性系统的微分方程为


    根据奇点的位置和奇点类型,结合线性系统奇点类型和系统运动形式的对应关系,绘制本系
统在各奇点附近的相轨迹,再使用等倾线法,绘制其他区域的相轨迹,获得系统的相平面图,见图
8-27。图中相交于鞍点(-2,0)的两条相轨迹为奇线,将相平面划分为两个区域,相平面图中阴影
线内区域为系统的稳定区域,阴影线外区域为系统的不稳定区域。凡初始条件位于阴影线内区域
时,系统的运动均收敛至原点I凡初始条件位于阴影线外区域时,系统的运动发散至无穷大,该例
说明,非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。
5.非线性系统的相平面分析
    常见非线性特性多数可用分段直线来表示,或者本身就是分段线性的。对于含有这些非线性
特性的一大类非线性系统,由于不满足解析条件,无法采用小扰动线性化方法。然而,若根据非线
性的分段特点,将相平面分成若干区域进行研究,可使非线性微分方程在各个区域表现为线性微
分方程,再应用线性系统的相平面分析方法,则问题将迎刃而解。
    这一类非线性特性曲线的折线的各转折点,构成了相平面区域的分界线,称为开关线.下面
通过具有几种典型非线性特性的控制系统的研究,具体介绍该方法的应用。
例8-2系统相平面图(MATLAB)
    (1)具有死区特性的非线性控制系统
    设系统结构如图8-28所示,系统初始状态为
零,输入r(t)=R·1(t)。
具有死区特性的非线性系统

    根据图8-28,可列写系统的微分方程如下:


具有死区特性的非线性系统相轨迹
    由图可知,各区域的相轨迹运动形式由该区域
的线性微分方程的奇点类型决定,相轨迹在开关线
上改变运动形式,系统存在稳态误差,而稳态误差的
大小取决于系统参数,亦与输入和初始条件有关。若
用比例环节k=1代替死区特性,即无死区影响时,
线性二阶系统的相轨迹如图8-29中虚线所示。由此
亦可以比较死区特性对系统运动的影响。
    (2)具有饱和特性的非线性控制系统
    设具有饱和特性的非线性控制系统如图8-30
所示。图中T=1,K=4,e0=M0=0.2,系统初始状
态为零。
具有饱和特性的非线性控制系统

区域,渐近趋近于e·=-KM0的等倾线。相轨迹最终趋于坐标原点,系统稳定。
r(t)=2·1(t)具有饱和特性的非线性系统相轨迹

    当V0=1.2>KM0时,线性区内,相轨迹奇点(0.3,0)为稳定焦点,且为虚奇点,饱和区的两
条特殊的等倾线均位于相平面的上半平面,系统的相平面图如图8-32(a)所示,起始于任何初始
点的相轨迹将沿正饱和区的特殊相轨迹发散至无穷。
    当vo-0. 4<KMo时,线性区内,相轨迹奇点(0.1,0)为稳定焦点,且为实奇点,负饱和区和
正饱和区的两条特殊的等倾线分别位于;的上半平面和下半平面.系统的相平面图如图8-32(b)
所示,起始于任何初始点的相轨迹最终都收敛于(0.1,0),系统的稳态误差为0.1。
    当V0=0.8=KM0时,线性区内,相轨迹奇点(0.2.0)为稳定焦点,为实奇点,且位于开关线
e=e0上,正饱和区的线性微分方程为

r(t)=V0t时具有饱和特性的非线性系统的相平面图
接线性系统相轨迹分析知,该区域内的相轨迹是斜率为-1/T的直线,横轴上大于e0的各点皆为
奇点,起始于任何初始点的相轨迹最终都落在e>e0的横轴上,系统存在稳态误差,稳态误差的
大小取决于初始条件,相平面图为图8-32(c)。
具有滞环继电特性的非线性系统

    (3)具有滞环继电特性的非线性控制系统
    非线性系统结构如图8-33所示,H(s)为反馈网络,r(t)=0。
    1)单位反馈H(s)=1。根据滞环继电特性分区间列写微分方程如下:

由式(8-47)易知,三条开关线c=h,c·>0;c=-h,
c·<0和-h<c<h,c·=0将相平面划分为左右两个
区域。根据式(8-45)的分析结果,左区域内存在一
条特殊的相轨迹c·=KM0(k=α=0),右区域内亦存
在一条特殊的相轨迹c·=-KM0。所绘制的系统相
平面图如图8-34所示。横轴上区间(-h,h)为发散
段,即初始点位于该线段时,相轨迹运动呈向外发散形式,初始点位于该线段附近时也同样向外
发散;而由远离该线段的初始点出发的相轨迹均趋向于两条特殊的等倾线,即向内收敛,故而介
于从内向外发散和从外向内收敛的相轨迹之间,存在一条闭合曲线MNKLM,构成极限环。按极
限环定义,该极限环为稳定的极限环。因此在无外作用下,不论初始条件如何,系统最终都将处于
自振状态。而在输入为r(t)=R·1(t)条件下,仍有

系统状态e(t),e·(t)仍将最终处于自振状态,可见滞环特性恶化了系统的品质,使系统处于失控
状态。
    2)速度反馈H(s)=1+τs(0<τ<T)。滞环非线性因素对系统影响的定性分析和相平面法
分析表明,滞环的存在导致了控制的滞后,为补偿其不利影响,引入输出的速度反馈,以期改善非
线性系统的品质。
    加入速度反馈控制以后,非线性系统在无输入作用下的微分方程为


故当相轨迹运动至A1点后,非线性环节输出仍将保持-KM0,系统仍将按H(s)=1时的运动规
律运动至A2点,此时,非线性环节输出切换为KM0。当相轨迹点位于第Ⅱ象限且位于L2下方以
及L2上时的运动可仿上分析,由此可知,三条开关线c·>0且c+τc·=h、c·<0且c+τc·=-h和
τc·=0且-h<c<h将相平面划分为左右两个区域,相平面图如图8-35所示。与单位反馈时的切
换线相比,引入速度反馈后,开关线反向旋转,相轨迹将提前进行转换,使得系统自由运动的超调
量减小,极限环减小,同时也减小了控制的滞后。由于开关线反向旋转的角度φ随着速度反馈系
数τ的增大而增大,因此当0<τ<T时,系统性能的改善,将随着τ的增大愈加明显。一般来说,
控制系统可以允许存在较小幅值的自振荡,因而通过引入速度反馈减小自振荡幅值,具有重要的
应用价值。
H(s)=1时,具有滞环继电特性的非线性系统相平面图
速度反馈(τ>T)下滞环继电特性的相平面图
(责任编辑:laugh521521)
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