非线性控制系统概述

2016-03-02 10:15 作者:管理员11 来源:未知 浏览: 字号:
非线性控制系统概述
1.研究非线性控制理论的意义
    本书以上各章详细地讨论了线性定常控制系统的分析和设计问题.但实际上,理想的线性系
统并不存在,因为组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性。以随动
系统为例,放大元件由于受电源电压或输出功率的限制,在输入电压超过放大器的线性工作范围
时,输出呈饱和现象,如图8-l(a)所示;执行元件电动机,由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩,
只有在电枢电压达到一定数值后,电机才会转动,存在着死区,而当电枢电压超过一定数值时,电
机的转速将不再增加,出现饱和现象,其特性如图8-l(b)所示;又如传动机构,受加工和装配精度
的限制,换向时存在着间隙特性,如图8-1(c)所示。

几种典型的非线性特性
    由此可见,实际系统中普遍存在非线性因素。当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元
件时,该系统称为非线性系统,例如,在图8-2所示的柱形液位系统中,设H为液位高度,Qi为液
  体流入量,Q0为液体流出量,C为贮槽的截面积。根据水力学原理

其中比例系数志取决于液体的黏度和阀阻。液位系统的动态方程为

  显然,液位H和液体输入量Qi的数学关系式为非线性微分方程。一般
地,非线性系统的数学模型可以表示为

其中f(*)和g(*)为非线性函数。
    当非线性程度不严重时,例如不灵敏区较小、输入信号幅值较小、传动机构间隙不大时,可以
忽略非线性特性的影响,从而可将非线性环节视为线性环节I当系统方程解析且工作在某一数值
附近的较小范围内时,可运用小偏差法将非线性模型线性化。例如,设图8-2液位系统的液位Ⅳ
在H0附近变化,相应的液体输入量Qi在Qi0附近变化时,可取△H=H-H0,△Qi=Qi-Qi0,对

忽略非线性特性的影响或作小偏差线性化处理后,非线性系统近似为线性化系统,因此可以采用
线性定常系统的方法加以分析和设计。但是,对于非线性程度比较严重,且系统工作范围较大的
非线性系统,只有使用非线性系统的分析和设计方法,才能得到较为正确的结果。随着生产和科
学技术的发展,对控制系统的性能和精度的要求越来越高,建立在上述线性化基础上的分析和设
计方法已难以解决高质量的控制问题.为此,必须针对非线性系统的数学模型,采用非线性控制
理论进行研究。此外,为了改善系统的性能,实现高质量的控制,还必须考虑非线性控制器的设
计。例如,为了获得最短时阃控制,锝对执行机构采用继电控制,使其始终工作在最大电压或最大
功率下,充分发挥其调节能力,为了兼顾系统的响应速率和稳态精度,需使用变增益控制器。
    值得注意的是,非线性特性千差万别,对于非线性系统,目前还没有统一的且普遍适用的处
理方法。线性系统是非线性系统的特例,线性系统的分析和设计方法在非线性控制系统的研究中
仍将发挥非常重要的作用。
2.非线性系统的特征
    线性系统的重要特征是可以应用线性叠加原理。由于描述非线性系统运动的数学模型为非
线性微分方程,因此叠加原理不能应用,故能否应用叠加原理是两类系统的本质区别。非线性系
统的运动主要有以下特点:
    (l)稳定性分析复杂
    按照平衡状态的定义,在无外作用且系统输出的各阶导数等于零时。系统处于平衡状态.显
然,对于线性系统,只有一个平衡状态y=0,线性系统的稳定性即为该平衡状态的稳定性,而且
只取决于系统本身的结构和参数,与外作用和初始条件无关。
    对于非线性系统,则问题变得较复杂。首先,系统可能存在多个平衡状态,考虑下述非线性
一阶系统:

考虑上述平衡状态受小扰动的影响,故平衡状态x=l是不稳定的,因为稍有偏离,系统不
能恢复至原平衡状态;而平衡状态x=0在一定范围的扰动下
(x0<1)是稳定的。
    由上例可见,非线性系统可能存在多个平衡状态,各平衡
状态可能是稳定的也可能是不稳定的。初始条件不同,自由运
动的稳定性亦不同。更重要的是,平衡状态的稳定性不仅与系
统的结构和参数有关,而且与系统的初始条件有直接的关系。
非线性一阶系统的时间响应曲线

    (2)可能存在自激振荡现象
    所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时,系
统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动,简称自振。
线性定常系统只有在临界稳定的情况下才能产生周期运动。
考虑图8-4所示系统,设初始条件x(0)=x0,x.(0) =x.0,系统
自由运动方程为。


二阶零阻尼线性系统
其中振幅A和相角φ依赖于初始条件。此外,根据线性叠加原理,在系统运动过程中,一旦外扰
动使系统输出x(t)或x.(t)发生偏离,则A和φ都将随之改变,因而上述周期运动将不能维持。所
以线性系统在无外界周期变化信号作用时所具有的周期运动不是自激振荡。
    考虑著名的范德波尔方程

该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使x<1时,因为-ρ(l一x²)<0系统具
有负阻尼,此时系统从外部获得能量,x(t)的运动呈发散形式I当x>1时,因为-2ρ(l一x²)>0,
系统具有正阻尼,此时系统消耗能量,x(t)的运动呈收敛形式;而当x=1时,系统为零阻尼,系统
运动呈等幅振荡形式。上述分析表明,系统能克
服扰动对互的影响,保持幅值为1的等幅振荡,
见图8-5。
非线性系统的自激振荡

   必须指出,长时间大幅度的振荡会造成机械
磨损,增加控制误差,因此多数情况下不希望系
统有自振发生。但在控制中通过引入高颖小幅度
的颤振,可克服间隙、死区等非线性因素的不良
影响,而在振动试验中,还必须使系统产生稳定
的周期运动。因此研究自振的产生条件及抑制,确定自振的频率和周期,是非线性系统分析的重
要内容。
    (3)频率响应发生畸变
    稳定的线性系统的频率响应,即正弦信号作用下的稳态输出量是与输入同频率的正弦信号,
其幅值A和相位φ为输入正弦信号频率ω的函数。而非线性系统的频率响应除了含有与输入同
频率的正弦信号分量(基频分量)外,还含有关于ω的高次谐波分量,使输出波形发生非线性畸
变,若系统含有多值非线性环节,输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。
    在非线性系统的分析和控制中,还会产生一些其他与线性暴统明显不同的现象,在此不再
赘述。
3.非线性系统的分析与设计方法
    系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式,以解决稳定性问题为中心,对系统实施
有效的控制。由于非线性系统形式多样,受数学工具限制,一般情况下难以求得非线性微分方程
的解析解,只能采用工程上适用的近似方法。本章重点介绍以下三种方法,
    (1)相平面法
    相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法。该方法通过在相平面上绘制相轨迹
曲线,确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式。相平面法仅适用于一阶和二阶
系统。
    (2)描述函数法
    描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法.该方法对于
满足结构要求的一类非线性系统,通过谐波线性化,将非线性特性近似表示为复变增益环节,然
后推广应用频率法,分析非线性系统的稳定性或自激振荡。
    (3)逆系统法
    逆系统法是运用内环非线性反馈控制,构成伪线性系统,并以此为基础,设计外环控制网络。
该方法应用数学工具直接研究非线性控制问题,不必求解非线性系统的运动方程,是非线性系统
控制研究的一个发展方向。
(责任编辑:laugh521521)
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