离散系统的数字校正

2016-03-18 13:46 作者:管理员11 来源:未知 浏览: 字号:
离散系统的数字校正
    线性离散系统的设计方法,主要有模拟化设计和离散化设计两种。模拟化设计方法,把控制
系统按模拟化进行分析,求出数字部分的等效连续环节,然后按连续系统理论设计校正装置,再
将该校正装置数字化,离散化设计方法又称直接数字设计法,把控制系统按离散化(数字化)进行
分析,求出系统的脉冲传递函数,然后按离散系统理论设计数字控制器。由于直接数字设计方法
比较简便,可以实现比较复杂的控制规律,因此更具有一般性。
    本节主要介绍直接数字设计法,研究数字控制器的脉冲传递函数,最少拍控制系统的设计,
以及数字控制器的确定等问题。
1.数字控制器的脉冲传递函数
    设离散系统如图7-48所示。图中,D(z)为数字控制器(数字校正装置)的脉冲传递函数,
G(s)为保持器与被控对象的传递函数,H(s)为反馈测量装置的传递函数。
    设H(s)=1,G(s)的z变换为G(z),由图可以求出系统的闭环脉冲传递函数


具有数字控制器的离散系统
    离散系统的数字校正问题是:根据对离散系统性能指标的要求,确定闭环脉冲传递函数
毒(z)或误差脉冲传递函数φc(z),然后利用式(7-107)或(7-108)确定数字控制器的脉冲传递函
数D(z),并加以实现。
2.最少拍系统设计
    在采样过程中,通常称一个采样周期为一拍,所谓最少拍系统,是指在典型输入作用下,能以
有限拍结束响应过程,且在采样时刻上无稳态误差的离散系统。
    最少拍系统的设计,是针对典型输入作用进行的.常见的典型输入,有单位阶跃函数、单位速
度函数和单位加速度函数,其z变换分别为

    最少拍系统的设计原则是:若系统广义被控对象G(z)无延迟且在z平面单位圆上及单位
圆外无零极点,要求选择闭环脉冲传递函数φ(z),使系统在典型输入作用下,经最少采样周期后
能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零,达到完全跟踪的目的,从而确定所需要的数字控制
器的脉冲传递函数D(z)。
    根据设计原则,需要求出稳态误差ess(∞)的表达式。由于误差信号e(t)的z变换为

根据z变换的终值定理,离散系统的稳态误差为

式中,F(z)为不含(1-z的-1次方)因子的多项式。为了使求出的D(z)简单,阶数最低,可取F(z)=1。由
式(7-104)及(7-109)可知,取F(z)=l的意义是使φ(z)的全部极点均位于z平面的原点。
    下面讨论最少拍系统在不同典型输入作用下,数字控制器脉冲传递函数D(z)的确定方法。
    (1)单位阶跃输入
    由于r(t)=1(t)时有m=1,A(z)=1,故由式(7-109)及(7-112)可得




可见,最少拍系统经过三拍便可完全跟踪输入r(t)=t²2/2。根据c(nT)的数值,可以绘出最少拍系
统的单位加速度响应序列,如图7-51所示。这样的离散系统称为三拍系统,其调节时间为ts=3T。
最少拍系统的单位斜坡响应序列
最少拍系统的单位加速度响应序列
  各种典型输入作用下最少拍系统的设计结果列于表7-7。
最少拍系统的设计结果
    应当指出,最少拍系统的调节时间,只与所选择的闭环脉冲传递函数φ(z)的形式有关,而与
典型输入信号的形式无关。例如,针对单位斜坡输入设计的最少拍系统,可选择


比较各种典型输入下的R(z)与C(z)可以发现,它们都是
仅在前二拍出现差异,从第三拍起实现完全跟踪,因此均
为二拍系统,其ts=2T。在各种典型输入作用下,最少拍系
统的输出响应序列,如图7-52所示。由图可以看出,如下
几点结论成立:
    1)从快速性而言,接单位斜坡输入设计的最少拍系
统,在各种典型输入作用下,其动态过程均为二拍.
    2)从准确性而言,系统对单位阶跃输入和单位斜坡输
入,在采样时刻均无稳态误差,但对单位加速度输入,采样
时刻上的稳态误差为常量T²。
    3)从动态性能而言,系统对单位斜坡输入下的响应性
能较好,这是因为系统本身就是针对此而设计的,但系统
对单位阶跃输入响应性能较差,有100%的超调量,故按某
种典型输入设计的最少拍系统,适应性较差。
    4)从平稳性而言,在各种典型输入作用下系统进入稳
态以后,在非采样时刻一般均存在纹波,从而增加系统的
机械磨损,故上述最少拍系统的设计方法,只有理论意义,
并不实用。
二拍系统对典型输入的响应序列

    例7-33 设单位反馈线性定常离散系统的连续部分
和零阶保持器的传递函数分别为

其中采样周期T=1s。若要求系统在单位斜坡输入时实现最少拍控制,试求数字控制器脉冲传递
函数D(z)。
    解 系统开环传递函数


3.无波纹最少拍系统设计
    由于最少拍系统在非采样时刻存在纹波,为工程界所不容许,故希望设计无纹波最少拍
系统。
    无纹波最少拍系统的设计要求是:在某一种典型输入作用下设计的系统,其输出响应经过
尽可能少的采样周期后,不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入,而且在非采样时刻不存在
纹波。
    (1)最少拍系统产生纹波的原因
  设单位反馈离散系统如图7-53所示,它按单位斜坡输入设计的最少拍系统,其T=1。假定,
Tm=1,Kv/i=10,则G0(s)=10/s(s+l)。根据例7-33结果

显然,经过二拍以后,零阶保持器的输入序列e2(nT)并不是常值脉冲,而是围绕平均值上下波
动,从而保持器的输出电压y在二拍以后也围绕平均值波动。这样的电压y加在电机上,必然使
电机转速不平稳,产生输出纹波。图7-53系统中的各点波形,如图7-54所示,因此,无纹波输出
就必须要求序列e2(nT)在有限个采样周期后,达到相对稳定(不波动)。要满足这一要求,除了采
用前面介绍的最少拍系统设计方法外,还需要对被控对象传递函数G0(s)以及闭环脉冲传递函
数西(名)提出相应的要求。
    (2)无纹波最少拍系统的必要条件
    为了在稳态过程中获得无纹波的平滑输出c*(t),被控对象G0(s)必须有能力给出与输入
r(t)相同的平滑输出c(t)。
    若针对单位斜坡输入r(t)=t设计最少拍系统,则G0(s)的稳态输出也必须是斜坡函数,因
有纹波最少拍系统
此G0(s)必须至少有一个积分环节,使被控对象在零阶保持器常值输出信号作用下,稳态输出为
等速变化量;同理,若针对单位加速度输入r(t)=t²/2设计最少拍系统,则G0(s)至少应包含两个
积分环节。
    一般地说,若输入信号为

则无纹波最少拍系统的必要条件是:被控对象传递函数Go(s)中,至少应包含(q-l)个积分
环节。
    上述条件是不充分的,即当G0(S)满足上述条件时,最少拍系统不一定无纹波。例7-33就是
如此。
    在以下的讨论中,我们总是假定这一必要条件是成立的。
    (3)无纹波最少拍系统的附加条件
    根据z变换定义,有

在上式中,G(z)的极点多项式Q(z)总是有限的多项式,
不会妨碍D(z)φe(z)成为z的-1次方的有限多项式,然而G(z)
的零点多项式P(z)则不然,所以,D(Z)φe(Z)成为Z的-1次方有
限多项式的条件是:φ(z)的零点应抵消G(z)的全部零
点,即应有
    φ(z)=P(z)M(2)     (7-115)
式中,M(z)为待定Z的-1次方多项式,可根据其他条件确定。式
(7-115)就是无纹波最少拍系统的附加条件。由此得到以
下结论:
    1)当要求最少拍系统先纹波时,闭环脉冲传递函数
φ(2)除应满足最少拍要求的形式外,其附加条件是φ(z)
还必须包含G(z)的全部零点,而不论这些零点在z平面
的何处。
    2)由于最少拍系统设计前提是G(z)在单位圆上及
单位圆外无零极点,或可被φ(z)及φc(z)所补偿,所以附
加条件(7-115)要求的φ(z)包含G(z)在单位圆内的零点
数,就是无纹波最少拍系统比有纹波最少拍系统所增加
的拍数。
    (4)无纹波最少拍系统设计
    无纹波最少拍系统的设计方法,除应增加附加条件
外,其余同最少拍系统设计方法,也是针对具体典型输入
形式设计的。
最少拍系统各点波形

    当输入为单位阶跃函数时,设


    对于单位加速度输入,也可以作同样分析。
    应当指出,在上面分析中,DQ)霞&)只取三项是为了便于讨论。一般地说,只要D(z)φe(z)
的展开项取有限项,结果不变,即仍然可以得到无纹波输出。
    无纹波最少拍系统的具体设计方法,请参见下例。
    例7-34 在例7-33系统中,若要求在单位斜坡输入时实现无纹波最少拍控制,试求D(z)。
    解广义对象脉冲传递函数已由例7-33求出为


系统从第三拍起,e2(nT)达到稳态,输出没有纹波,说明所求出的控制器D(z)是合理的。此时系
统为三拍系统,与最少拍设计相比,所增加的—拍正好是G(z)在单位圆内的零点数。
4.PID数字控制器的实现
    在数字校正装置D(z)的实现方法中,常采用PID数字控制器。PID控制器的传递函数为

将其中的微分项和积分项进行离散化处理,就可以确定PID控制器的数字实现。
    对微分项,应用向后差分法,有

采用计算机软件,可以方便地实现上述PID数字控制器。显然,令K2或K3分别为零,可得PD
或PI数字控制器。
(责任编辑:laugh521521)
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