离散系统的动态性能分析

2016-02-26 09:24 作者:管理员11 来源:未知 浏览: 字号:

摘要:离散系统的动态性能分析 应用z变换法分析线性定常离散系统的动态性能,通常有时域法、根轨迹法和频域法,其中 时域法最简便。本节主要介绍在时域中如何求取离散系统的时间响应,指出采样器和保持器对系 统动态性能的影响,以及在z平面上定性分析离散系统闭环

离散系统的动态性能分析
    应用z变换法分析线性定常离散系统的动态性能,通常有时域法、根轨迹法和频域法,其中
时域法最简便。本节主要介绍在时域中如何求取离散系统的时间响应,指出采样器和保持器对系
统动态性能的影响,以及在z平面上定性分析离散系统闭环极点与其动态性能之间的关系。
1.离散系统的时间响应
    在已知离散系统结构和参数情况下,应用z变换法分析系统动态性能时,通常假定外作用为
单位阶跃函数l(t)。
    如果可以求出离散系统的闭环脉冲传递函数φ(z)=C(z)/R(z),其中R(z)=z/(z-1),则
系统输出量的z变换函数
    c(z)=z/(z-1)φ(z)
将上式展成幂级数,通过z反变换,可以求出输出信号的脉冲序列c*(t)。c*(t)代表线性定常离
散系统在单位阶跃输入作用下的响应过程。由于离散系统时域指标的定义与连续系统相同,故根
据单位阶跃响应曲线c*(t)可以方便地分析离散系统的动态和稳态性能。
    如果无法求出离散系统的闭环脉冲传递函数φ(z),但由于R(z)是已知的,且C(z)的表达
式总是可以写出的,因此求取c*(t)并无技术上的困难。
    例7-32设有零阶保持器的离散系统如图7-41所示,其中r(t)=1(t),T=1s,K=1。试分
析该系统的动态性能。
    解 先求开环脉冲传递函数G(z)。因为

    根据上述c(nT)(n=0,1,2,…)数值,可以绘出离散系统的单位阶跃响应c*(t),如图7-44
所示。由图可以求得给定离散系统的近似性能指标:上升时间tr=2s,峰值时间tp=4s,调节时间
ts=12s,超调量σ% =40%。
    应当指出,由于离散系统的时域性能指标只能按采样周期整数倍的采样值来计算,所以是近
似的。此外,当外作用为不同的典型输入信号形式时,离散系统的时间响应可用MATLAB软件
包方便地求出,其应用方法请参阅本书附录C。
2.采样器和保持器对动态性能的影响
    前面曾经指出,采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点,仅影响开环脉冲传递函数
的零点。但是,对闭环离散系统而言,开环脉冲传递函数零点的变化,必然引起闭环脉冲传递函数
极点的改变,因此采样器和保持器会影响闭环离散系统的动态性能。下面通过一个具体例子,定
性说明这种影响。
    在例7-32中,如果没有采样器和零阶保持器,则成为连续系统,其闭环传递函数

离散系统输出脉冲系列
连续与离散系统的时间响应曲线

    在例7-32中,既有采样器又有零阶保持器的单位阶跃响应曲线c*(t),已绘于图7-44。为了
便于对比,重新画于图7-45,见曲线3。
根据图7-45,可以求得各类系统的性能指标如表7-6所示。
连续与离散系统的时域指标
    由表可见,采样器和保持器对离散系统的动态性能有如下影响:
    l)采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小,但使超调量增大,故采样造成的信息
损失会降低系统的稳定程度。然而,在某些情况下,例如在具有大延迟的系统中,误差采样反而会
提高系统的稳定程度。
    2)零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长,超调量和振荡次数也增加。这是因为
除了采样造成的不稳定因素外,零阶保持器的相角滞后降低了系统的稳定程度。
3.闭环极点与动态响应的关系
    离散系统闭环脉冲传递函数的极点在z平面上单位圆内的分布,对系统的动态响应具有重
要的影响。确定它们之间的关系,哪怕只是定性关系,对分析和设计离散系统,都有指导意义。
    设闭环脉冲传递函数

    在式(7-96)中,等号右端第一项的z反变换为M(1)/D(l),是c*(t)的稳态分量,若其值为1,
则单位反馈离散系统在单位阶跃输入作用下的稳态误差为零;第二项的z反变换为c*(t)的瞬态
分量。根据pk在单位圆内的位置,可以确定c*(t)的动态响应形式,下面分几种情况来讨论。
  (1)正实轴上的闭环单极点
  设pk为正实数。pk对应的瞬态分量为

所以,当pk为正实数时,正实轴上的闭环极点对应指数规律变化的动态过程形式。
    若pk>l,闭环单极点位于z平面上单位圆外的正实轴上,有a>0,故动态响应ck(nT)是按
指数规律发散的脉冲序列I
    若pk=l,闭环单极点位于右半z平面上的单位圆周上,有a=0,故动态响应ck(nT)=ck,为
等幅脉冲序列;
    若0<pk<1,闭环单极点位于z平面上单位圆内的正实轴上,有a<0,故动态响应ck(nT)是
按指数规律收敛的脉冲序列,且pk越接近原点,丨a丨越大,ck(nT)衰减越快。
    (2)负实轴上的闭环单极点
    设pk为负实数,由式(7-97)可见,当n奇数时pk的n次方为负;当n为偶数时pk的n次方为正。因此,负实
数极点对应的动态响应ck(nT)是交替变号的双向脉冲序列。
    若pk<-1,闭环单极点位于z平面单位圆外的负实轴上,则ck(nT)为交替变号的发散脉冲
序列;
    若pk=-1,闭环单极点位于左半z平面的单位圆周上,则ck(nT)为交替变号的等幅脉冲
序列,
    若-1<pk<0,闭环单极点位于z平面上单位圆内的负实轴上,则ck(nT)为交替变号的衰减
脉冲序列,且pk离原点越近,ck(nT)衰减
越快。
    闭环实极点分布与相应动态响应形式的
关系,如图7-46所示。由图可见:
    若闭环实数极点位于右半z平面,则输
出动态响应形式为单向正脉冲序列。实极点
位于单位圆内,脉伸序列收敛,且实极点越接
近原点,收敛越快;实极点位于单位圆上,脉
冲序列等幅变化f实极点位于单位圆外,脉冲
序列发散。
    若闭环实数极点位于z左半平面,则输
出动态响应形式为双向交替脉冲序列。实极
点位于单位圆内,双向脉冲序列收敛;实极点
位于单位圆上,双向脉冲序列等幅变化;实极
点位于单位圆外,双向脉冲序列发散。
闭环实极点分布与相应的动态响应形式
  (3)z平面上的闭环共轭复数极点

    由式(7-103)可见,一对共轭复数极点对应的瞬态分量ck,k(nT)按振荡规律变化,振荡的角
频率为ω。在z平面上,共轭复数极点的位置越左,θk便越大,ck,k(nT)振荡的角频率ω也就越高。
式(7-102)和(7-103)表明:
 若丨pk丨>1,闭环复数极点位于z平面上的单位圆外,有a>0,故动态响应ck,k(nT)为振荡发
散脉冲序列;
    若丨pk丨=1,闭环复数极点位于z平面上的单位圆上,有a=0,故动态响应ck,k(nT)为等幅振
荡脉冲序列;
    若丨pk丨<1,闭环复数极点位于z平面上的单位圆内,有a<0,故动态响应ck,k(nT)为振荡收
敛脉冲序列,且丨pk丨越小,即复极点越靠近原点,振荡收敛得越快。
    闭环共轭复数极点分布与相应动态响应形式的关系,如图7-47所示。由图可见;位于z平
面上单位圆内的共轭复数极点,对应输出动态响应的形式为振荡收敛脉冲序列,但复极点位于左
半单位圆内所对应的振荡频率,娶高于右半单位圆内的情况。
    综上所述,离散系统的动态特性与闭环极点的分布密切相关。当闭环实极点位于z平面上左
半单内圆内时,由于输出衰减脉冲交替变号,故动
态过程质量很差;当闭环复极点位于左半单位圆
内时,由于输出衰减高频振荡脉冲。故动态过程性
能欠佳。因此,在离散系统设计时,应把闭环极点
安置在z平面的右半单位圆内,且尽量靠近原点。
    最后,讨论φ(z)的所有极点均位于原点的特
殊情况。由s域到z域的等σ线映射可知,左半s
平面上的等σ线,映射为z平面上单位圆内的一
簇同心圆,显然,z平面上的原点,对应s平面上
σ→-∞。在连续系统中,σ称为稳定度,故φ(z)全
部极点都在原点的系统,称为具有无穷大稳定度
的离散系统。此时

闭环复极点分布与相应的动态响应形式
    由于φ(z)是Z的-1次方的有限项幂级数,因此相应的输出脉冲序列必在有限拍(即有限采样周期
数)内结束,这是离散系统特有的现象。因为对连续系统而言,理论上动态过程在t→∞时才结
束。当被控对象与采样周期一定时,这种离散系统具有最短的动态过程,故又称为最少拍系统或
最短调节时间系统。有关最少拍系统的设计问题,将在下节介绍。
(责任编辑:laugh521521)
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