离散系统的稳定性与稳态误差

2016-02-18 15:09 作者:管理员11 来源:未知 浏览: 字号:

摘要:离散系统的稳定性与稳态误差 正如在线性连续系统分析中的情况一样,稳定性和稳态误差也是线性定常离散系统分析的 重要内容。本节主要讨论如何在z域和域中分析离散系统的稳定性,同时给出计算离散系统 在采样瞬时稳态误差的方法。 为了把连续系统在s平面上分


离散系统的稳定性与稳态误差
    正如在线性连续系统分析中的情况一样,稳定性和稳态误差也是线性定常离散系统分析的
重要内容。本节主要讨论如何在z域和ω域中分析离散系统的稳定性,同时给出计算离散系统
在采样瞬时稳态误差的方法。
    为了把连续系统在s平面上分析稳定性的结果移植到在z平面上分析离散系统的稳定性,
首先需要研究s平面与z平面的映射关系。
1.s域到z域的映射
    在2变换定义中,z=esrT给出了s域到z域的关系。s域中的任意点可表示为s=σ+jω,映射
到z域则为

    令σ=0,相当于取s平面的虚轴,当ω从-∞变到∞时,由式(7-84)知,映射到z平面的轨迹
是以原点为圆心的单位圆。只是当s平面上的点沿虚轴从-∞移到∞时,z平面上的相应点已经
沿着单位圆转过了无穷多圈。这是因为当s平面上的点沿虚轴从-ωs/2移动到ωs/2时,其中ωs
为采样角频率,z平面上的相应点沿单位圆从-π逆时针变化到π(见式(7-84)中∠z计算式),正
好转了一圈;而当s平面上的点在虚轴上从ωs/2移动到3ωs/2时,z平面上的相应点又将逆时针
沿单位圆转过一圈。以此类推,如图7-34所示。由图可见,可以把s平面划分为无穷多条平行于
实轴的周期带,其中从-ωs/2到ωs/2的周期带称为主要带,其余的周期带叫做次要带。为了研究
s平面上的主要带在z平面上的映射,可分以下几种情况讨论。
    (1)等σ线映射
    s平面上的等σ垂线,映射到z平面上的轨迹,是以原点为圆心,以丨z丨=eσT为半径的圆,其
中丁为采样周期,如图7-35所示。由于5平面上的虚轴映射为z平面上的单位圆,所以左半s平
面上的等σ线映射为z平面上的同心圆,在单位圆内;右半s平面上的等σ线映射为z平面上的
同心圆,在单位圆外。
s平面虚轴在z平面上的映射
s平面和z平面上的等σ轨迹
    (2)等ω线映射
    在特定采样周期T情况下,由式(7-84)可知,s平面上的等ω水平线,映射到z平面上的轨
迹,是一簇从原点出发的射线,其相角∠z=ωT从正实轴计量,如图7-36所示。由图可见,s平面
上ω=ωs/2水平线,在z平面上正好映射为负实轴。
    (3)等ζ线映射
    s平面上的等ζ线可用下式描述:
    s=-ωtanβ+jω
其中,β为ζ线与虚轴之间的夹角。于是

由式(7-85)可见,除β=0°和β=90°外,
当β为常数时,左半s平面上的等ζ线,映射
为z平面上单位圆内一簇收敛的对数螺旋
线,其起点为z平面上正实轴的1处,终点为
z平面的原点。图7-37表示了β=30°的等ζ
线映射关系。
    有了以上映射关系,现在可以讨论s平面
上周期带在z平面上的映射。设s平面上的主
要带如图7-38(a)所示,通过z=esT变换,映射
为z平面上的单位圆及单位圆内的负实轴,
如图7-38(b)所示。类似地,由于

因此s平面上所有的次要带,在z平面上均映
射为相同的单位圆及单位圆内的负实轴。
s平面和z平面上的等ω轨迹
s平面和z平面上的等ζ轨迹
左半s平面上的主要带在z平面上的映射
2.离散系统稳定的充分必要条件
    定义  若离散系统在有界输入序列作用
下,其输出序列也是有界的,则称该离散系统
是稳定的。
    众所周知,在线性定常连续系统中,系统
稳定的充分必要条件是指:系统齐次微分方
程的解是收敛的,或者系统特征方程式的根
均具有负实部,或者系统传递函数的极点均位于左半s平面。连续系统这种在时域或s域描述系
统稳定性的方法同样可以推广到离散系统。对于线性定常离散系统,时域中的数学模型是线性定
常差分方程,z域中的数学模型是脉冲传递函数,因此线性定常离散系统稳定的充分必要条件,
可以从以下两方面进行研究。
    (1)时域中离散系统稳定的充分必要条件
    设线性定常差分方程如式(7-54)所示,即


不失一般性,设特征方程(7-76)的根或闭环脉冲传递函数(7-75)的极点为各不相同的zl,z2,…,
zn。由s域到z域的映射关系知:s左半平面映射为z平面上的单位圆内的区域,对应稳定区域;
s右半平面映射为z平面上的单位圆外的区域,对应不稳定区域.s平面上的虚轴,映射为z平面
上的单位圆周,对应临界稳定情况。因此,在z域中,线性定常离散系统稳定的充分必要条件是:
    当且仅当离散系统特征方程(7-76)的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内,或者所有
特征根的模均小于1,即丨zi丨<1(i=l,2,…,n),相应的线性定常离散系统是稳定的。
    应当指出:上述稳定条件虽然是从特征方程无重特征根情况下推导出来的,但是对于有重
根的情况,也是正确的。此外,在现实系统中,不存在临界稳定情况,设若丨zi丨=1或丨α丨=1,在经
典控制理论中,系统也属于不稳定范畴。
    例7-26 设一离散系统可用下列差分方程描述:
    c(n+1)-ac(n)=br(n),  c(0)≠0
试分析系统稳定的充分必要条件。

    例7-27 设离散系统如图7-26所示,其中G(s)=10/s(s+l),H(s)=1,T=1。试分析该系
统的稳定性。
    解 由已知G(s)可求出开环脉冲传递函效

    应当指出,当例7-27中无采样器时,二阶连续系统总是稳定的,但是引入采样器后,二阶离
散系统却有可能变得不稳定,这说明采样器的引入一般会降低系统的稳定程度。如果提高采样频
率(减小采样周期),或者降低开环增益,离散系统的稳定性将得到改善。
    当离散系统阶数较高时,直接求解差分方程或z特征方程的根总是不方便的,所以人们还是
希望有间接的稳定判据可供利用,这对于研究离散系统结构、参数、采样周期等对于稳定性的影
响,也是必要的。
3.离散系统的稳定性判据
    连续系统的劳斯。赫尔维茨稳定判据,是通过系统特征方程的系数及其符号来判别系统稳定
性的。这种对特征方程系数和符号以及系数之间满足某些关系的判据,实质是判断系统特征方程
的根是否都在左半s平面。但是,在离散系统中需要判断系统特征方程的根是否都在z平面上的
单位圆内,因此,连续系统中的劳斯判据不能直接套用,必须引入另一种z域到ω域的线性变
换,使z平面上的单位圆内区域,映射成ω平面上的左半平面,这种新的坐标变换,称为双线性
变换,或称为ω变换。
    (1)ω变换与劳斯稳定判据
    如果令

由于上式的分母(x-l)²+y²始终为正,因此u=0等价为x²+y²=1,表明ω平面的虚轴对应于
z平面上的单位圆周;u<0等价为x²+y²<l,表明左半ω平面对应于z平面上单位圆内的区
域;u>0等价为x²+y²>l,表明右半ω平面对应于z平面上单位圆外的区域,z平面和ω平面
的这种对应关系,如图7-39所示。
    由ω变换可知,通过式(7-87),可将线性
定常离散系统在z平面上的特征方程1+GH
(z)=0,转换为在w平面上的特征方程1+
GH(w)=0。于是,离散系统稳定的充分必要
条件,由特征方程1+GH (z)=0的所有根位
于z平面上的单位圆内,转换为特征方程1+
GH(ω)=0的所有根位于左半埘平面。这后
一种情况正好与在s平面上应用劳斯稳定判
据的情况一样,所以根据ω域中的特征方程
  系数,可以直接应用劳斯表判断离散系统的稳定性,并相应称为ω域中的劳斯稳定判据。
z平面与ω平面的对应关系

    例7-28 设闭环离散系统如图7-40所示,其中采样周期T=0.1s,试求系统稳定时K的临
  界值。
闭环离散系统


    对于线性定常离散系统,除了采用ω变换,在ω域中利用劳斯判据判断系统的稳定性外,还
可以在z域中应用朱利判据判断离散系统的稳定性。
    (2)朱利稳定判据
    朱利判据是直接在z域内应用的稳定性判据,类似于连续系统中的赫尔维茨判据,朱利判据
是根据离散系统的闭环特征方程D(z)=0的系数,判别其根是否位于z平面上的单位圆内,从
而判断该离散系统是否稳定。
    设离散系统,z阶闭环特征方程可以写为
    D(z)=a0+a1z+a2z²+…+anz的n次方=0,    an>0
利用特征方程的系数,按照下述方法构造(2n-3)行、(n+l)列朱利阵列,见表7-4。
朱利阵列
    在朱利阵列中,第2k+2行各元,是2k十1行各元的反序排列。从第三行起,阵列中各元的定
义如下:


4.采样周期与开环增益对稳定性的影响
    众所周知,连续系统的稳定性取决于系统的开环增益足、系统的零极点分布和传输延迟等
因素。但是,影响离散系统稳定性的因索,除与连续系统相同的上述因素外,还有采样周期T的
数值。先看一个具体的例子。
离散系统
    例7-30 设有零阶保持器的离散系统如图7-41
所示,试求:
    1)当采样周期T分别为1s和0.5s时,系统的
临界开环增益Kc;
    2)当r(t)=l(t),K=1,T分别为0.0s,1s,2s,
4s时,系统的输出响应c(kT)。


离散系统在不同采样周期下的阶跃响应
  由例可见,K与T对离散系统稳定性有如下影响:
  1)当采样周期一定时,加大开环增益会使离散系统的稳定性变差,甚至使系统变得不稳定。
    2)当开环增益一定时,采样周期越长,丢失的信息越多,对离散系统的稳定性及动态性能均
不利,甚至可使系统失去稳定性。
5.离散系统的稳态误差
    在连续系统中,稳态误差的计算可以利用两种方法进行:一种是建立在拉氏变换终值定理
基础上的计算方法,可以求出系统的稳态误差}另一种是从系统误差传递函数出发的动态误差系
数法,可以求出系统动态误差的稳态分量。这两种计算稳态误差的方法,在一定条件下都可以推
广到离散系统,
    由于离散系统没有唯一的典型结构图形式,所以误差脉冲传递函数φc(z)也给不出一般的计
算公式。离散系统的稳态误差需要针对不同形式的
离散系统来求取。这里仅介绍利用z变换的终值定
理方法。求取误差采样的离散系统在采样瞬时的稳
态误差。
单位反馈离散系统

    设单位反馈误差采样系统如图7-43所示,其
中G(s)为连续部分的传递函数,e(t)为系统连续误
差信号,e*(t)为系统采样误差信号,其z变换函数为

为系统误差脉冲传递函数。
    如果φe(z)的极点全部位于z平面上的单位圆内,即若离散系统是稳定的,则可用z变换的终
值定理求出采样瞬时的稳态误差

    上式表明,线性定常离散系统的稳态误差,不但与系统本身的结构和参数有关,而且与输入
序列的形式及幅值有关。除此以外,由于G(z)还与采样周期T有关,以及多数的典型输入R(z)也
与T有关,因此离散系统的稳态误差数值与采样周期的选取也有关。
    例7-31 设离散系统如图7-43所示,其中G(s)=1/s(0.ls+l),T=0.1s,输入连续信号r(t)
分别为l(t)和t,试求离散系统相应的稳态误差。
    解 不难求出G(s)相应的z变换为


    如果希望求出其他结构形式离散系统的稳态误差,或者希望求出离散系统在扰动作用下的
稳定误差,只要求出系统误差的z变换函数E(z)或En(z),在离散系统稳定的前提下,同样可以
应用z变换的终值定理算出系统的稳态误差。
    式(7-89)只是计算单位反馈误差采样离散系统的基本公式,当开环脉冲传递函数G(z)比较
复杂时,计算ess(∞)仍有一定的计算量,因此希望把线性定常连续系统中系统型别及静态误差
系数的概念推广到线性定常离散系统,以简化稳态误差的计算过程。
6.离散系统的型别与静态误差系数
    在讨论零阶保持器对开环系统脉冲传递函数G(z)的影响时,我们曾经指出,零阶保持器不
影响开环系统脉冲传递函数的极点。因此,开环脉冲传递函数G(z)的极点,与相应的连续传递函
数G(s)的极点是一一对应的。如果G(s)有v个s=0的极点,即v个积分环节,则由z变换算子
z=esT关系式可知,与G(s)相应的G(z)必有v个z=l的极点。在连续系统中,我们把开环传递函
数G(s)具有s=0的极点数作为划分系统型别的标准,并分别把v=0,1,2,…的系统称为0型、
I型和Ⅱ型系统等。因此,在离散系统中,也可以把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的极点数v
作为划分离散系统型别的标准,类似地把G(z)中v=0,1,2,…的系统,称为0型、I型和Ⅱ型离
散系统等。
    下面讨论图7-43所示的不同型别的离散系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差,并建
立离散系统静态误差系数的概念。
    (1)单位阶跃输入时的稳态误差
    当系统输入为单位阶跃函数r(t)=1(t)时,其z变换函数

上式也是离散系统在采样瞬时的稳态位置误差,可以仿照连续系统,称为速度误差。式中

称为静态速度误差系数。因为0型系统的Kv=0,I型系统的Kv为有限值,Ⅱ型和Ⅱ型以上系统
的Kv=∞,所以有如下结论:
    0型离散系统不能承受单位斜坡函数作用,I型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度
误差,Ⅱ型和Ⅱ型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。
    (3)单位加速度输入时的稳态误差
    当系统输入为单位加速度函数r(t)=t²/2时,其z变换函数

称为静态加速度误差系数。由于0型及I型系
统的Ka=0,Ⅱ型系统的Ka为常值,Ⅱ型及Ⅲ
型以上系统的Ka=∞,因此有如下结论成立:
    0型及I型离散系统不能承受单位加速度
函数作用,Ⅱ型离散系统在单位加速度函数作
用下存在加速度误差,只有Ⅲ型及Ⅱ型以上的
离散系统在单位加速度函数作用下,才不存在
采样瞬时的稳态位置误差。
    不同型别单位反馈离散系统的稳态误差,
见表7-5。
单位反馈离散系统的稳态误差
(责任编辑:laugh521521)
文章分享:

标签:
版权所有: 非特殊声明均为本站原创文章,转载请注明出处: 机械资料网
订阅更新: 您可以通过RSS订阅我们的内容更新