离散系统的数学模型

2016-02-18 13:04 作者:管理员11 来源:未知 浏览: 字号:
离散系统的数学模型
    为了研究离散系统的性能,需要建立离散系统的数学模型。与连续系统的数学模型类似,线
性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。本节主要介绍差
分方程及其解法,脉冲传递函数的基本概念,以及开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的建立
方法。有关离散状态空间表达式及其求解,将在本书第九章介绍。

1.离散系统的数学定义
    在离散时间系统理论中,所涉及的数字信号总是以序列的形式出现。因此,可以把离散系统
抽象为如下数学定义:
    将输入序列r(n),n=0,±l,±2,…,变换为输出序列c(n)的一种变换关系,称为离散系统。
记作
    c(n)=F[r(n)]        (7-53)
其中,r(n)和c(n)可以理解为t=nT时,系统的输入序列r(nT)和输出序列c(nT),T为采样
周期。
    如果式(7-53)所示的变换关系是线性的,则称为线性离散系统;如果这种变换关系是非线性
的,则称为非线性离散系统。
    (1)线性离散系统
    如果离散系统(7-53)满足叠加原理,则称为线性离散系统,即有如下关系式:
    若c1(n)=F[rl(n)],c2(n)=F[r2(n)],且有r(n)=ar1(n)±brz(n),其中a和b为任意常数,则
    c(n)=F[r(n)]=Far1(n)±br2(n)]
    =aF[r1(n)]±bF[r2(n)]=ac1(n)±bc2(n)
    (2)线性定常离散系统
    输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统,称为线性定常离散系统。例如,当输入序
列为r(n)时,输出序列为c(n)}如果输入序列变为r(n-k),相应的输出序列为c(n-k),其中k=
0,±1,±2,…,则这样的系统称为线性定常离散系统。
    本章所研究的离散系统为线性定常离散系统,可以用线性定常(常系数)差分方程描述。
2.线性常系数差分方程及其解法
    对于一般的线性定常离散系统,志时刻的输出c(k),不但与k时刻的输入r(k)有关,而且与
五时刻以前的输入r(k-l),r(k-2),…有关,同时还与五时刻以前的输出c(k-l),c(k-2),…
有关。这种关系一般可以用下列n阶后向差分方程来描述:
    c(k)+alc(k-1)+a2c(k-2)+…+an-1c(k-n+1)+anc(k-n)
    =b0r(k)+b1r(k-1)+…+bm-1r(k-m+1)+bmr(k-m)
上式亦可表示为

    常系数线性差分方程的求解方法有经典法、迭代法和z变换法。与微分方程的经典解法类
似,差分方程的经典解法也要求出齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解,非常不便,这里仅
介绍工程上常用的后两种解法。
    (1)迭代法
    若已知差分方程(7-54)或(7-55),并且给定输出序列的初值,则可以利用递推关系,在计算
机上一步一步地算出输出序列。
    例7-16 已知差分方程。
    c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)
输入序列r(k)=1,初始条件为c(0)=0,c(l)=1,试用迭代法求输出序列c(k),k=0,l,2,…,10。
    解根据初始条件及递推关系,得
    c(0)=0
    c(l)=l
    c(2)=r(2)+5c(l)-6c(0)=6
    c(3)=r(3)+5c(2)-6c(l)=25
    c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90
    c(5)=r(5)+5c(4)-6c(3)=301
    c(6)=r(6)+5c(5)-6c(4)=966
    c(7)=r(7)+5c(6)-6c(5)=3025
    c(8)=r(8)+5r(7)-6c(6)=9330
    c(9)=r(9)+5c(8)-6c(7)=28501
    c(10)=r(10)+5c(9)-6c(8)=86526
    (2)z变换法
    设差分方程如式(7-55)所示,则用z变换法解差分方程的实质,是对差分方程两端取z变
换,并利用名变换的实数位移定理,得到以z为变量的代数方程,然后对代数方程的解C(z)取z
反变换,求得输出序列c(k)。
    例7-17 试用z变换法解下列二阶差分方程:

    差分方程的解,可以提供线性定常离散系统在给定输入序列作用下的输出序列响应特性,但
不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响,因此,衡要研究线性定常离散系统的另一种数
学模型—脉冲传递函数。
3.脉冲传递函数
    如果把z变换的作用仅仅理解为求解线性常系数差分方程,显然是不够的。z变换更为重要
的意义在于导出线性离散系统的脉冲传递函数,给线性离散系统的分析和校正带来极大的方便。
    (1)脉冲传递函数定义
    众所周知,利用传递函数研究线性连续系统
的特性,有公认的方便之处,对于线性连续系统,
传递函数定义为在零初始条件下,输出量的拉氏
变换与输入量的拉氏变换之比。对于线性离散系
统,脉冲传递函数的定义与线性连续系统传递函
数的定义类似。
开环离散系统
    设开环离散系统如图7-22所示,如果系统的初始条件为零,输入信号为r(t),采样后r*(t)
的z变换函数为R(z),系统连续部分的输出为c(t),采样后c*(t)的2变换函数为C(z),则线性
定常离散系统的脉冲传递函数定义为系统输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之
比,记作

所谓零初始条件,是指在t<0时,输入脉冲序列各采样值r(-T),r(-2T),…以及输出脉冲序
列各采样值c(-T),c(-2T),…均为零。
    式(7-56)表明,如果已知尺&)和G(z),则在零初始条件下,线性定常离散系统的输出采样
信号为
    c(t)=Z-1[C(z)]=Z[G(z)R(2)]
由于R(z)是已知的,因此求c*(t)的关键在于求出系统的脉冲传递函数G(z)。
    然而,对大多数实际系统来说,其输出往往是连续信号c(t),而不是采样信号c*(t),如图7-
23所示。此时,可以在系统输出端虚设一个理想采样开关,如图中虚线所示,它与输入采样开关
同步工作,并具有相同的采样周期。如果系统的实际输出c(t)比较平滑,且采样频率较高,则可用
c*(t)近似描述c(t)。必须指出,虚设的采样开关是不存在的,它只表明了脉冲传递函数所能描述
的,只是输出连续函数c(t)在采样时刻上的离散值c*(t)。
实际开环离散系统
    (2)脉冲传递函数意义
    对于线性定常离散系统,如果输入为单位序
列:

    由于线性定常离散系统的位移不变性(即定常性),当输入单位脉冲序列沿时间轴后移k个
采样周期,成为δ(n-k)T]时,输出单位脉冲响应序列亦相应后移k个采样周期,成为K[(n-
k)T]。在离散系统理论中,K(nT)和K[(n-h)T]有个专有名称,称为“加权序列”。“加权”的含
意是:当对—个连续信号采样时,每一采样时刻的脉冲值,就等于该时刻的函数值。可见,任何一
个采样序列,都可以认为是被加了“权”的脉冲序列。
    在线性定常离散系统中,如果输入采样信号

这就是脉冲传递函数与差分方程的关系。
    由上可见,差分方程、加权序列K<nT)和脉冲传递函数G(z),都是对系统物理特性的不同
数学描述。它们的形式虽然不同,但实质不变,并且可以根据以上关系相互转化。
    (3)脉冲传递函数求法
    连续系统或元件的脉冲传递函数G(z),可以通过其传递函数G(s)来求取。根据式(7-58)可
知,由G(s)求G(z)的方法是。先求G(s)的拉氏反变换,得到脉冲过渡函数K(t),即
    K(t)=ψ-1[G(s)]               (7-60)
再将K(t)按采样周期离散化,得加权序列K(nT);最后将K(nT)进行z变换,按式(7-58)求出
G(z)。这一过程比较复杂,其实,如果把=变换表7-2中的时间函数e(t)看成K(t),那么表中的
E(s)就是G(s)(见式(7—60)),而E()则相当于G(z).因此,根据2变换表7-2.可以直接从G(s)
得到G(z),而不必逐步推导。
    如果G(s)为阶次较高的有理分式函数,在z变换表中找不到相应的G(z),则需将G(s)展成
部分分式,使各部分分式对应的z变换都是表中可以查到的形式,同样可以由G(s)直接求出G(z)。
    顺便指出,在图7-23中,虚设采样开关的输出为采样输出


4.开环系统脉冲传递函数
    当开环离散系统由几个环节串联组成时,其脉冲传递函数的求法与连续系统情况不完全相
同。即使两个开环离散系统的组成环节完全相同,但由于采样开关的数目和位置不同,求出的开
环脉冲传递函数也会截然不同,为了便于求出开环脉冲传递函数,需要了解采样函数拉氏变换
G*(s)的有关性质。
    (1)采样拉氏变换的两个重要性质
    1)采样函数的拉氏变换具有周期性,即

   (2)有串联环节时的开环系统脉冲传递函数
    如果开环离散系统由两个串联环节构成,则开环系统脉冲传递函数的求法与连续系统情况
不完全相同。这是因为在两个环节串联时,有两种不同的情况。
    1)串联环节之间有采样开关。设开环离散系统如图7-24 (a)所示,在两个串联连续环节
Gl(s)和G2(s)之间,有理想采样开关隔开。根据脉冲传递函数定义,由图7-24 (a)可得
    D(z)=Gl(z)R(z),    C(z)=G2(z)D(z)
其中,Gl(z)和G2(z)分别为Gl(s)和G2(s)的脉冲传递函数。于是有
    C(z)=G2(z)G1(z)R(az)
因此,开环系统脉冲传递函数
    G(z)=C(z)/R(z)=G1(z)G2(z)    (7-65)
式(7-65)表明,有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数,等于这两个。
节各自的脉冲传递函数之积。这一结论,可以推广到类似的行个环节相串联时的情况。
环节串联时的快环离散系统
    2)串联环节之间无采样开关。设开环离散系统如图7-24 (b)所示,在两个串联连续环节
G1(s)和G2(s)之间,没有理想采样开关隔开。显然,系统连续信号的拉氏变换为
    C(s)=G1(s)G2(s)R(s)
式中,R*(s)为输入采样信号r*(t)的拉氏变换,即

    G(z)=C(z)/R(z)=G1G2(z)               (7-67)
    式(7-67)表明,没有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数,等于这
两个环节传递函数乘积后的相应z变换。这一结论也可以推广到类似的再个环节相串联时的情况。
    显然,式(7-65)与(7-67)是不等的,即
    Gl(z)G2(z)≠G1G2(z)
从这种意义上说,z变换无串联性。下例可以说明这一点。
    例7-20   设开环离散系统如图7-24(a)及(b)所示,其中G1(s)=1/s,G2(s)=a/(s+a),输
入信号r(t)=1(f),试求系统(a)和(b)的脉冲传递函数G(z)和输出的z名变换C(z)。
    解 查z变换表,输入r(t)=l(t)的z变换为

    显然,在串联环节之间有无同步采样开关隔离时,其总的脉冲传递函数和输出z变换是不相
同的。但是,不同之处仅表现在其零点不同,极点仍然一样。这也是离散系统特有的现象。
    (3)有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数
    设有零阶保持器的开环离散系统如图7-25 (a)所示。图中,Gh(s)为零阶保持器传递函数,
G0(s)为连续部分传递函数,两个串联环节之间无同步采样开关隔离。由于Gh(s)不是s的有理分
式函数,因此不便于用求串联环节脉冲传递函数的式(7-67)求出开环系统脉冲传递函数。如果将
图7-25(a)变换为图7-25(b)所示的等效开环系统,则有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数
的推导将是比较简单的。
    由图7-25(b)可得

因为e-sT为延迟一个采样周期的延迟环节,所以e-sTGo(s)/s对应的采样输出比Go(s)/s对应的
采样输出延迟一个采样周期。对式( 7-68)进行z变换,根据实数位移定理及采样拉氏变换性质
(7-64),可得


    现在,把上述结果与例7-19所得结果作一比较。在例7-19中,连续部分的传递函数与本例
相同,但是没有零阶保持器。比较两例的开环系统脉冲传递函数可知,两者极点完全相同,仅零点
不同。所以说,零阶保持器不影响离散系统脉冲传递函数的极点。
5.闭环系统脉冲传递函数
    由于采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能性,因此闭环离散系统没有唯一的结构图

形式.图7-26是—种比较常见的误差采样闭环离
散系统结构图。图中,虚线所示的理想采样开关是
为了便于分析而虚设的,输入采样信号r*(t)和反
馈采样信号b*(t)事实上并不存在,图中所有理
想采样开关都同步工作,采样周期为T。
    由图7-26可见,连续输出信号和误差信号
的拉氏变换为
    C(s)=G(s)E*(s)
    E(s)=R(s)-H(s)C(s)
因此有E(s)=R(s)-H(s)G(s)E*(s)
于是,误差采样信号e*(t)的拉氏变换

闭环离散系统结构图
    式(7-74)和(7-75)是研究闭环离散系统时经常用到的两个闭环脉冲传递函数。与连续系统
相类似,令φ(z)或φe(z)的分母多项式为零,便可得到闭环离散系统的特征方程:
    D(z)=1+GH(z)=0         (7-76)    
式中,GH(z)为开环离散系统脉冲传递函数。
    需要指出,闭环离散系统脉冲传递函数不能从φ(s)和φe(s)求z变换得来,即
        φ(z)≠Z[φ(s)],    φe(z)≠Z[φe(s)]
这种原因,也是由于采样器在闭环系统中有多种配置之故。
    通过与上面类似的方法,还可以推导出采样器为不同配置形式的其他闭环系统的脉冲传递
函数。但是,只要误差信号e(t)处没有采样开关,输入采样信号r*(t)(包括虚构的r*(t))便不存
在,此时不可能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数,而只能求出输出采样信号的z变
换函数C(z)。
闭环离散系统

闭环离散系统



    由于从上式解不出C(z)/R(z),因此求不出闭环脉冲传递函数,但可以求出闭环系统的采
样输出信号c*(t)。
    对于采样器在闭环系统中具有各种配置的闭环离散系统典型结构图,及其输出采样信号的
z变换函敷C(z),可参见表7-3。
典型闭环离散系统及输出z变换函数1
典型闭环离散系统及输出z变换函数2
6.z变换法的局限性及修正z变换
    2变换法是研究线性定常离散系统的一种有效工具,但是2变换法也有其本身的局限性,因
此在某些情况下,需要采用修正z变换法来研究离散系统。
    (1)z变换法的局限性
    应用z变换法分析线性定常离散系统时,必须注意以下几方面问题:
    1)z变换的推导是建立在假定采样信号可以用理想脉冲序列来近似的基础上,每个理想脉
冲的面积,等于采样瞬时上的时间函数。这种假定,只有当采样持续时间与系统的最大时间常数
相比是很小的时候,才能成立。
    2)输出z变换函数C(z),只确定了时间函数c(t)在采样瞬时上的数值,不能反映c(t)在采
样间隔中的信息。因此对于任何C(z),z反变换c(nT)只能代表c(t)在采样瞬时t=nT(n=0,1,
2.…)时的数值。
    3)用z变换法分析离散系统时,系统连续部分传递函数G(s)的极点数至少要比其零点数多
两个,即G(s)的脉冲过渡函数K(t)在t=0时必须没有跳跃,或者满足

否则,用z变换法得到的系统采样输出c*(z)与实际连续输出c(t)差别较大,甚至完全不符。
RC积分网络

    例7-24 设RC积分网络如图7-29所示,其输
入r(t)=1(t),采样周期T=ls,试比较c*(t)与c(t)。
    解 网络传递函数
    G(s)=1/s+1



    c*(t)=δ(t)+1.368δ(t-1)+1.5δ(t-2)+1.55δ(t-3)+1.56δ(t-4)+…
于是,可以画出c(t)在采样瞬时的值c(nT) (T=1,n=0,1,2,…),如图7-30(a)所示。如果采用
拉氏变换的方法,可以求出当连续部分的输人为r*(t)=δT(t)时,系统的连续输出c(t),如
图7-30(b)所示。
    由图可见,在c*(f)曲线中,将其采样瞬时的幅值连接起来所画出的光滑曲线,与实际的c(t)
有显著差别。这是因为此时G(s)不满足式(7-77)之故。在这种情况下,可以采用修正z变换法分
析离散系统。
积分网络的采样输出和连续输出
    (2)修正z变换法
    修正名变换是z变换的一种推广,是研究离散系统在采样间隔中响应的一种普遍有用方法。
    先考虑一个开环离散系统,如图7-31 (a)所示,采样开关S0以等周期T采样,对图中虚构采
样开关Sl的输出c*(t)进行拉氏变换,并令z=esT,可得输出响应的孑变换函数C(z)。如果在S0
和G(s)之间设置一个虚构采样开关Sn0,在输出端再设置一个虚构采样开关Snl,如图7-31(b)所
示,Sn0和Sn1,的采样周期为T/n,其中n=1,2,…,那么由于S0的输出是相隔T秒的脉冲序列,而
Sn0的采样速度比S0快n倍,所以串接采样开关Sn0对原来系统的性能没有影响。因此,图7-31
(a)和(b)表示的两个系统本质上是相同的。
开环离散系统

    式(7-82)表明,采样间隔之间的响应,正好可以利用原来的z变换法去算,其中n值的选择
取决于需要在采样间隔中求几个输出值。例如,如果除了需要在正常采样瞬时0,T,2T,…的采
样输出外,在各采样间隔中还希望补插两点,则取n=3。一般说来,如果以q代表希望的补插值
数目,则n=q+1。


    上述幂级数的各项系数,就是输出序列c(kT/3),
k=0,1,2,…,在各采样瞬时的数值,可画出c*(t)曲线
如图7-32所示。将各采样瞬时的幅值连成光滑曲线,
与图7-30(b)所示的连续输出曲线c(t)相比,两者形状
基本一致。
采用修正z变换后的采样输出

    修正z变换法同样可应用于闭环离散系统。设闭
环离散系统如图7-33所示。图中,虚构采样开关Sl与
实际误差采样开关S0同步工作,采样周期为T;虚构采样开关Sn0与Sn1同步工作,采样周期为
T/n。
    在图7-33中,虚构采样开关Sn1的输出z变换函散

有虚构采样开关的闭环离散系统
(责任编辑:laugh521521)
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