z变换理论

2016-02-16 14:09 作者:管理员11 来源:未知 浏览: 字号:

摘要:z变换理论 z变换的思想来源于连续系统。线性连续控制系统的动态及稳态性能,可以应用拉氏变换的 方法进行分析。与此相似,线性离散系统的性能,可以采用z变换的方法来获得。z变换是从拉氏 变换直接引申出来的一种变换方法,它实际上是采样函数拉氏变换的变形

z变换理论
    z变换的思想来源于连续系统。线性连续控制系统的动态及稳态性能,可以应用拉氏变换的
方法进行分析。与此相似,线性离散系统的性能,可以采用z变换的方法来获得。z变换是从拉氏
变换直接引申出来的一种变换方法,它实际上是采样函数拉氏变换的变形。因此,z变换又称为
采样拉氏变换,是研究线性离散系统的重要数学工具。
1.z变换定义
    设连续函数e(t)是可拉氏变换的,则拉氏变换定义为



2.z变换方法
    求离散时间函数的z变换有多种方法,下面只介绍常用的两种主要方法。
    (1)级数求和法
    级数求和法是直接根据z变换的定义,将式(7-28)写成展开形式:
    E(z)=e(0)+e(T)z-1+e(T)z-2+…+e(nT)z-n…    (7-30)
上式是离散时间函数e*(t)的一种无穷级数表达形式,显然,根据给定的理想采样开关的输入连
续信号e(t)或其输出采样信号e*(t),以及采样周期T,由式(7-30)立即可得z变换的级数展开
式。通常,对于常用函数z变换的级数形式,都可以写出其闭合形式。
    例7-6 试求单位阶跃函数1(t)的z变换。
    解 由于e(t)=1(t)在所有采样时刻上的采样值均为1,即e(nT)=1(n=0,1,2,…,∞),故
由式(7-30),有

试求理想脉冲序列δT(t)的z变换。
    解 因为T为采样周期,故

    从例7-6和例7-7可见,相同的z变换E(z)对应于相同的采样函数e*(t),但是不一定对应
于相同的连续函数e(t),这是利用z变换法分析离散系统时特别要注意的一个问题。
    (2)部分分式法
    利用部分分式法求名变换时,先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E(s),然后将有理
分式函数E(s)展成部分分式之和的形式,使每一部分分式对应简单的时间函数,其相应的z变
换是已知的,于是可方便地求出E(s)对应的z变换E(z)。
    例7-8  已知连续函数的拉氏变换为

    常用时间函数的z变换表如表7-2所示。由表可见,这些函数的z变换都是z的有理分式,
且分母多项式的次数大于或等于分子多项式的次数。值得指出,表中各z2变换有理分式中,分母
z多项式的最高次数与相应传递函数分母s多项式的最高次数相等。
z变换表1
z变换表2
3.z变换性质
    z变换有一些基本定理,可以使z变换的应用变得简单和方便,其内容在许多方面与拉氏变
换的基本定理有相似之处。
    (1)线性定理

    式(7-31)和(7-32)表明,z变换是一种线性变换,其变换过程满足齐次性与均匀性。
    (2)实数位移定理
    实数位移定理又称平移定理。实数位移的含意,是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干
采样周期,其中向左平移为超前,向右平移为滞后,实数位移定理如下:
    如果函数e(t)是可拉氏变换的,其z变换为E(z),则有

  在实数位移定理中,式(7-33)称为滞后定理l式(7-34)称为超前定理,显然可见,算子z有明
确的物理意义:z-k代表时域中的滞后环节,它将采样信号滞后k个采样周期;同理,zk代表超前
环节,它把采样信号超前k个采样周期。但是,zk仅用于运算,在物理系统中并不存在。
    实数位移定理是一个重要定理,其作用相当于拉氏变换中的微分和积分定理。应用实数位移
定理,可将描述离散系统的差分方程转换为=域的代数方程。有关差分方程的概念将在下节
介绍。
    例7-10 试用实数位移定理计算滞后一个采样周期的指数函数e-a(t-T)的z变换,其中a为
常数。
  解 由式(7-33)



  读者不妨自行论证。在离散系统分析中,常采用终值定理求取系统输出序列的终值误差,或称稳
  态误差。
    例7-12 设z变换函数为。


    卷积定理指出,两个采样函数卷积的z变换,就等于该两个采样函数相应z变换的乘积。在
离散系统分析中,卷积定理是沟通时域与2域的桥梁.
4.z反变换
    在连续系统中,应用拉氏变换的目的,是把描述系统的微分方程转换为s的代数方程,然后
写出系统的传递函数,即可用拉氏反变换法求出系统的时间响应,从而简化了系统的研究。与此
类似,在离散系统中应用z变换,也是为了把s的超越方程或者描述离散系统的差分方程转换为
z的代数方程,然后写出离散系统的脉冲传递函数(z传递函数),再用z反变换法求出离散系统
的时间响应。
    所谓z反变换,是已知2变换表达式E(z),求相应离散序列e(nT)的过程。记为
    e(nT)=Ζ-1[E(z)]
进行z反变换时,信号序列仍是单边的,即当n<0时,e(nT)=0。常用的名反变换法有如下三种:
    (1)部分分式法
    部分分式法又称查表法,其基本思想是根据已知的E(z),通过查z变换表找出相应的
e*(t),或者e(nT)。然而,z变换表内容毕竟是有限的,不可能包含所有的复杂情况。因此需要把
E(z)展开成部分分式以便查表。考虑到z变换表中,所有名变换函数E(z)在其分子上普遍都有
因子z,所以应将E(z)/z展开为部分分式,然后将所得结果的每一项都乘以z,即得E(z)的部分
分式展开式。
    设已知的z变换函数E(z)无重极点,先求出E(z)的极点z1,z2.…,%,再将E(z)/z展开成
如下部分分式之和:


    (2)幂级数法
    幂级数法又称综合除法.由表7-2知,z变换函数E(z)通常可以表示为按z-1升幂排列的两
个多项式之比:

其中ai(i=1,2,…,n)和bj(j=0,1,…m)均为常系数。通过对式(7-42)直接作综合除法,得到按
z-1升幂排列的幂级数展开式

如果所得到的无穷幂级数是收敛的,则按z变换定义可知,式(7-43)中的系数Cn(n=0,1,…,∞)
就是采样脉冲序列e*(t)的脉冲强度e(nT)。因此,根据式(7-43)可以直接写出e*(t)的脉冲序列
表达式

    在实际应用中,常常只需要计算有限的几项就够了。因此用幂级数法计算e*(t)最简便,这
是z变换法的优点之一。但是,要从一组e(nT)值中求出通项表达式,一般是比较困难的。
    例7-14 设z变换函数

  试用幂级数法求E(z)的z反变换.
    解 将给定的E(z)表示为


    应当指出,只要表示函数z变换的无穷幂级数E(z)在z平面的某个区域内是收敛的,则在
应用z变换法解决离散系统问题时,就不需要指出E(z)在什么z值上收敛。
    (3)反演积分法
    反演积分法又称留数法。采用反演积分法求取2反变换的原因是:在实际问题中遇到的2
变换函数E(z),除了有理分式外,也可能是超越函数,此时无法应用部分分式法及幂级数法来求
z反变换,而只能采用反演积分法。当然,反演积分法对E(z)为有理分式的情况也是适用的。由
于E(z)的幂级数展开形式为

所以函数E(z)可以看成是z平面上的劳伦级数.级数的各系数e(nT),n=0,1,…,可以由积分
的方法求出。因为在求积分值时要用到柯西留数定理,故也称留数法。


5.关于g变换的说明
    z变换与拉氏变换相比,在定义、性质和计算方法等方面,有许多相似的地方,但是z变换也
有其特殊规律。
    (1)z变换的非唯一性
    z变换是对连续信号的采样序列进行变换,因此z变换与其原连续时间函数并非一一对应,
而只是与采样序列相对应,与此类似,对于任一给定的z变换函数E(z),由于采样信号e*(t)可
以代表在采样瞬时具有相同数值的任何连续时间函数e(t),所以求出的E(z)反变换也不可能是
唯一的。于是,对于连续时间函数而言,z变换和z反变换都不是唯一的。图7-20就表明了这样
的事实,其中连续时间函数e1(t)和ez(t)的采样信号序列是相同的,即e1*(t)=e2*(t);它们的z
变换函数也是相等的,即E1(z)=E2(z);然而,这两个时间函数却是寝不相同的,即e1(t)≠e2(t)。
具有相同z变换式的两个时间常数
(2)z变换的收敛区间
对于拉氏变换,其存在性条件是下列绝对值积分收敛:

若上式满足,则双边z变换一致收敛,即e(nT)的z变换存
在。
    在大多数工程问题中,因为n<0时,e(nT)=0,所以z变
换是单边的,其定义式为

上式为一无穷等比级数,其公比为az-l,只有当丨z丨=r>丨a丨I时,该无穷级数才是收敛的,其收敛
区间为丨z丨>丨a丨。故有
    E(z)=z/z-a,丨z丨>丨a丨
不难看出,E(z)的零点是z=0,极点是z=a,收敛区如图7-21所示。
    由于大多数工程问题中的z变换都存在,因此今后对z变换的收敛区间不再特别指出。
(责任编辑:laugh521521)
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