信号的采样与保持

2016-01-31 17:22 作者:管理员11 来源:未知 浏览: 字号:
信号的采样与保持
    离散系统的特点是,系统中一处或数处的信号是脉冲序列或数字序列。为了把连续信号变换
为脉冲信号,需要使用采样器;另一方面,为了控制连续式元部件,又需要使用保持器将脉冲信号
变换为连续信号。因此,为了定量研究离散系统,必须对信号的采样过程和保持过程用数学的方
法加以描述。
1.采样过程
    把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器,又叫采样开关。采样器的采样过程,可以用
一个周期性闭合的采样开关S来表示,如图7-10所示。假设采样器每隔T秒闭合一次,闭合的
持续时间为τ;采样器的输入e(t)为连续信号;输出e'(t)为宽度等于τ的调幅脉冲序列,在采样
瞬时nT(n=0,l,2,…,∞)时出现。换句话说,在t=0时,采样器闭合τ秒,此时e‘(t)=e(t);t=
τ以后,采样器打开,输出e’(t)=0;以后每隔T秒重复一次这种过程。显然,采样过程要丢失采
样间隔之间的信息。
    对于具有有限脉冲宽度的采样系统来说,要准确进行数学分析是非常复杂的,且无此必要。
考虑到采样开关的闭合时间τ非常小,通常为毫秒到微秒级,一般远小于采样周期T和系统连
续部分的最大时间常数。因此在分析时,可以认为τ=0。这样,采样器就可以用一个理想采样器
来代替。采样过程可以看成是一个幅值调制过程。理想采样器好像是一个载波为δT(t)的幅值调
理想采样过程
制器,如图7-ll(b)所示,其中δT(t)为理想单位脉冲序列。图7-ll(c)所示的理想采样器的输出
信号e'(t),可以认为是图7-ll(a)所示的输入连续信号e(t)调制在载波δT(t)上的结果,而各脉
冲强度(即面积)用其高度来表示,它们等于相应采样瞬时t=nT时e(t)的幅值。如果用数学形式
描述上述调制过程,则有

因此脉冲序列从零开始。这个前提在实际控制系统中,通常都是满足的。
2.采样过程的数学描述
    采样信号e'(t)的数学描述,可分以下两方面讨论.
    (1)采样信号的拉氏变换
    对采样信号e'(t)进行拉氏变换,可得

根据拉氏变换的位移定理,有

    应当指出,式(7-5)将E’(s)与采样函数e(nT)联系了起来,可以直接看出e'(t)的时间响
应。但是,由于e'(t)只描述了e(t)在采样瞬时的数值,所以E'(s)不能给出连续函数e(t)在采样
间隔之间的信息,这是要特别强调指出的。还应当注意的是,式(7-5)描述的采样拉氏变换,与连
续信号e(t)的拉氏变换E(s)非常类似,因此,如果e(t)是一个有理函数,则无穷级数E'(s)也总
是可以表示成e的Ts次方的有理函数形式。在求E'(s)的过程中,初始值通常规定采用c(0+).
    例7-3 设e(t)=1(t),试求e'(t)的拉氏变换。
    解由式(7-5),有

    上述分析表明,只要E(s)可以表示为s的有限次多项式之比时,总可以用式(7-5)推导出
E'(s)的闭台形式,然而,如果用拉氏变换法研究离散系统,尽管可以得到e的Ts次方的有理函数,但却是
一个复变量s的超越函数,不便于进行分析和设计。为了克服这一困难,通常采用z变换法研究
离散系统。z变换可以把离散系统的s超越方程,变换为变量z的代数方程。有关z变换理论将
在下节介绍。
    (2)采样信号的频谱
    由于采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息,所以采样信号的频谱与连续信号的频
谱相比,要发生变化。研究采样信号的频谱,目的是找出E'(s)与E(s)之间的相互联系。
    式(7-2)表明,理想单位脉冲序列δT(t)是一个周期函数,可以展开为如下傅氏级数形式:

    式(7-10)在描述采样过程的性质方面是非常重要的,因为该式提供了理想采样器在频域中
的特点。在式(7-10)中,如果E'(s)没有右半s平面的极点,则可令s=jω,得到采样信号e'(t)的
傅氏变换

其中,E(jω)为连续信号e(t)的傅氏变换。
    一般说来,连续信号e(t)的频谱丨E(jω)丨是单一的连续频谱,如图7-12所示,其中ωh为连续
频谱丨E(jω)丨中的最大角频率I而采样信号e'(t)的频谱丨E'(jω)丨,则是以采样角频率ωs为周期
的无穷多个频谱之和,如图7-13所示。在图7-13中,n=0的频谱称为采样频谱的主分量,如曲线
1所示,它与连续频谱丨E(jω)丨形状一致,仅在幅值上变化了1/T倍;其余频谱(n=±1,±2,…)
都是由于采样而引起的高频频谱,称为采样频谱的补分蛩,如曲线2所示.图7-13表明的是采样
角频率ωs大于两倍ωh这一情况。如果加大采样周期T,采样角频率ωs相应减小,当ωs<2ωh时,
连续信号频谱
采样信号频谱(Iωs>2ωh)
采样频谱中的补分量相互交叠,致使采样器输出信号发生畸变,如图7-14所示。在这种情况下,
就是用图7-15所示的理想滤波器也无法恢复原来连续信号的频谱。因此不难看出,要想从采样
信号e'(t)中完全复现出采样前的连续信号e(t),对采样角频率ωs有一定的要求。
采样信号频谱(ωs<2ωh)
李子昂滤波器的频率特性
3.香农采样定理
    在设计离散系统时,香农采样定理是必须严格遵守的一条准则,因为它指明了从采样信号中
不失真地复现原连续信号所必需的理论上的最小采样周期T。
    香农采样定理指出:如果采样器的输入信号e(t)具有有限带宽,并且有直到ωh的频率分
量,则使信号e(t)圆满地从采样信号e'(t)中恢复过来的采样周期T,满足下列条件:
    T≤2π/2ωh    (7-12)
    采样定理表达式(7-12)与ωs≥2ωh等
价的。由图7-13可见,在满足香农采样定理的
条件下,要想不失真地复现采样器的输入信
号,需要采用图7-15所示的理想滤波器,其频
率特性的幅值丨F(jω)丨必须在ω=ωs/2处突
然截止,那么在理想滤波器的输出端便可以
准确得到丨E(jω)丨/T的连续频谱,除了幅值
变化1/T倍外,频谱形状没有畸变。在满足香
农采样定理条件下,理想采样器的特性如
图7-16所示。图(a)为连续输入信号及其频
谱;图(b)为理想单位脉冲序列及其频谱;
图(c)为输出采样信号及其频谱。
    应当指出,香农采样定理只是给出了一
个选择采样周期T或采样频率f的指导原
则,它给出的是由采样脉冲序列无失真地再
现原连续信号所允许的最大采样周期,或最低采样频率。在控制工程实践中,一般总是取ωs>
2ωh,而不取恰好等于2ωh的情形。
理想采样器特性

4.采样周期的选取
    采样定理只是给出了采样周期选择的基本原则,并未给出选择采样周期的具体方法。显然,
采样周期丁选得越小,即采样角频率ωs选得越高,对控制过程的信息便获得越多,控制效果也会
越好。但是,采样周期T选得过小,将增加不必要的计算负担,造成实现较复杂控制规律的困难,
而且采样周期T小到一定的程度后,再减小就没有多大实际意义了。反之,采样周期T选得过
大,又会给控制过程带来较大的误差,降低系统的动态性能,甚至有可能导致整个控制系统失去
稳定。
    在一般工业过程控制中,微型计算机所能提供的运算速度,对于采样周期的选择来说,回旋
余地较大。工程实践表明,根据表7-1给出的参考数据选择采样周期丁,可以取得满意的控制效
果。但是,对于快速随动系统,采样周期T的选择将是系统设计中必须予以认真考虑的问题。采
样周期的选取。在很大程度上取决于系统的性能指标。
工业过程T的选择
    从频域性能指标来看,控制系统的闭环频率响应
通常具有低通滤波特性,当随动系统的输入信号的频
率高于其闭环幅频特性的谐振频率ωr时,信号通过
系统将会很快衰减,因此可认为通过系统的控制信号
的最高频率分量为ωr。在随动系统中,一般认为开环
系统的截止频率ωr与闭环系统的谐振频率ωr相当接
近,近似有ωc坼,故在控制信号的频率分量中,超过
峨的分量通过系统后将被大幅度衰减掉。工程实践表
ωc,随动系统的采样角频率可近似取为
ωs=10ωc           (7-13)
由于T=2π/ωs,所以采样周期可按下式选取:

    从时域性能指标来看,采样周期T可通过单位阶跃响应的上升时间tr或调节时间ts按下列
经验公式选取:

    应当指出,采样周期选择得当,是连续信号e(t)可以从采样信号e'(t)中完全复现的前提。然
而,图7-15所示的理想滤波器实际上并不存在,因此只能用特性接近理想滤波器的低通滤波器
来代替,零阶保持器是常用的低通滤波器之一。为此,需要研究信号保持过程。
5.信号保持
    用数字计算机作为系统的信息处理机构时,处理结果的输出如同原始信息的轶取一样,一般
也有两种方式。一种是直接数字输出,如屏幕显示、打印输出,或将数列以二进制形式馈给相应的
寄存器,图7-5中的误差角θ显示就属于此种形式;另一种需要把数字信号转换为连续信号。用
于这后一种转换过程的装置,称为保持器。从数学上说,保持器的任务是解决各采样点之间的插
值问题。
    (1)保持器的数学描述
    由采样过程的数学描述可知,在采样时刻上,连续信号的函数值与脉冲序列的脉冲强度相
等。在nT时刻,有

然而,在由脉冲序列e'(t)向连续信号e(t)的转换过程中,在nT与(n+l)丁时刻之间,即当0<
△t<T时,连续信号e(nT+△t)究竟有多大?它与e(nT)的关系如何?这就是保持器要解决的问
题。
    实际上,保持器是具有外推功能的元件。保持器的外推作用,表现为现在时刻的输出信号取
决于过去时刻离散信号的外推,通常,采用如下多项式外推公式描述保持器。

上式说明:零阶保持器是一种按常值外推的保持器,它把前一采样时刻nT的采样值e(竹T)(因
为在各采样点上,e'(nT)=e(nT))一直保持到下一采样时刻(n+1)T到来之前,从而使采样信
号e'(t)变成阶梯信号eh(t),如图7-17所示。
零阶保持器的输出特性
    如果把阶梯信号eh(t)的中点连接起来,如
图7-17中点划线所示,则可以得到与连续信号
e(t)形状一致但在时间上落后T/2的响应e[t-
(T/2)]。
    式(7-18)还表明:零阶保持过程是由于理想
脉冲e(nT)δ(t-nT)的作用结果。如果给零阶保
持器输入一个理想单位脉冲δ(t),则其脉冲过渡
函数gh(t)是幅值为1持续时间为T的矩形脉
冲,并可分解为两个单位阶跃函数的和:
    gh(t)=l(t)-l(t-T)
对脉冲过渡函数gh(t)取拉氏变换,可得零阶保持器的传递函数:


零阶保持器的幅频特性和相频特性
一阶保持器的输出特性
    1)低通特性。由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减,说明零阶保持器基本上是
一个低通滤波器,但与理想滤波器特性相比,在ω=ωs/2时,其幅值只有初值的63.7%,且截止
频率不止一个,所以零阶保持器除允许主要频谱分嚣通过外,还允许部分高频频谱分量通过,从
而造成数字控制系统的输出中存在纹波。
    2)相角滞后特性。由相频特性可见,零阶保持器要产生相角滞后,且随ω的增大而加大,在
ω=ωs处,相角滞后可达-180°,从而使闭环系统的稳定性变差.
    3)时间滞后特性。零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t),其平均响应为e[t-(T/2)],表明其
输出比输入在时间上要滞后T/2,相当于给系统增加了一个延迟时间为T/2的延迟环节,使系
统总的相角滞后增大,对系统的稳定性不利;此外,零阶保持器的阶梯输出也同时增加了系统输
出申的纹波。
    (3)一阶保持器
    对于一阶保持器,其外推公式为


上式表明,一阶保持器是一种按线性外推规律得到的保持器,其输出特性如图7-19所示。
    采用类似的方法,可以导出一阶保持器的传递函数和频率特性:

    与零阶保持器相比,一阶保持器复现原信号的准确度较高。然而,一阶保持器的幅频特性普
遍较大,允许通过的信号高频分量较多,更易造成纹波。此外,一阶保持器的相角滞后比零阶保持
器大,在ω=ωs时,可达-280°,对系统的稳定性更加不利,因此在数字控制系统中,一般很少采
用一阶保持器,更不采用高阶保持器,而普遍采用零阶保持器。
    在工程实践中,零阶保持器可用输出寄存器实现。在正常情况下,还应附加模拟滤波器(如例
7-2),以有效地去除在采样频率及其谐波频率附近的高频分量。
(责任编辑:laugh521521)
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