控制系统频域设计
例5-17 雕刻机控制系统
图5-52(a)所示为雕刻机,其x轴方向配有两台驱动电机,用来驱动雕刻针运动;另外,还各
有一台单独的电机用于在y轴和z轴方向驱动雕刻针。雕刻机x轴方向位置控制系统模型如图5-
52(b)所示。
本例的设计目标是:用频率响应法选择控制器增益K1的值,使系统阶跃响应的各项指标保
持在允许范围内,
解 本例设计的基本思路是:首先选择增益K1的初始值,绘制系统的开环和闭环对数频率
特性曲线,然后用闭环对数频率特性来估算系统时间响应的各项指标。若系统性能不满足设计要
求,则调整K1的取值,重复以上设计过程。最后,用实际系统的仿真来检验设计结果。
现在,取K1=2,则系统开环频率特性为
G(jω)=1/jω(0.5jω+1)(jω+1)
计算G(jω)的幅值与相位,如表5-4所示。根据表5-4可绘制开环对数频率特性图如图5-53所
示。由图可见,系统的相角裕度γ=33°,相应的闭环系统是稳定的。
由闭环频率特性函数
可以画出闭环频率特性曲线,如图5-54所示。
由图可见,系统存在谐振频率,其值ωr=
0.8,相应的谐振峰值
20lgMr=5dB,Mr=1.78
根据图5-54,可以认为系统的主导极点为共
轭复极点。于是,可由图5-55给出的关系曲线,
并由Mr=1.78估计出系统的阻尼比ζ=0.28,
然后进一步得到标准化谐振频率ωr/ωn=0.92。
因为已求出ωr=0.8,故无阻尼自然频率
ωn=0.8/0.92=0.87
于是,雕刻机控制系统的二阶近似模型应为
根据近似模型,可以估算出系统的超调量为
最后,按实际三阶系统进行仿真,其单位阶
跃响应如图5-56所示,得到σ%=39%,tp=4s,
ts=l6s。结果表明,二阶近似模型是合理的,可以
用来调节系统的参数。在本例中,如果要求更小
的超调量,应取K1<2,然后重复以上设计过程。
MATLAB文本:
例5-18 遥控侦察车速度控制
图5-57是用于执行联合国维和使命的一种遥控侦察车模型及其速度控制系统结构图。其
中,R(s)为预期速度,由无线电指令传递给侦察车;扰动N(s)代表了路面上的颠簸冲击,本倒的
设计要求是用频率响应法选择控制器增益K1,使侦察车速度控制系统的单位阶跃响应有较小的
稳态误差和超调量。
解 首先考虑保证系统稳定性的K1值范围。系统开环传递函数
显然,系统为0型系统,在阶跃输入作用下存在稳态误差,其静态位置误差系数
Kp=0.5K1
由于图5-57(b)为单位反馈系统,因此其闭环特征方程为
D(s)=(s+1)(s²+2s+4)+K1(s+2)=s³+3s²+(6+K1)s+(4+2K1)=0
列劳斯表如下:
根据劳斯稳定判据可知:使闭环系统稳定的K1值范围为K1>0。
其次考虑系统在单位阶跃输入作用下的稳态误差
显然,K1值越大,ess(∞)越小。若取K1=20,则ess(∞)=0.09。为了选择合适的K1值,令K1=
20,则
表5-5给出了在0≤ω≤6范围内,典型频率点上的开环对数频率特性的数据。而图5-58则
给出了系统相应的尼科尔斯图,图中标注了K1=20时的G(jω)曲线。由图可见,系统的谐振峰值
Mr=12dB,或者Mr=4。根据求得的Mr=4,利用式(5-121)
可得系统的相角裕度γ=14.5°,表明此时系统的阶跃响应为欠阻尼响应,于是,可将系统近似为
振荡二阶系统,故可由式(5-123)或图5-51求得系统阻尼比ζ=0.13。系统单位阶跃响应的最大
超调量可估算为
为了减小超调量,应该减小系统的增益,假定要求σ%≤25%,则由图3-13可知,系统共轭主
导极点的阻尼比应为ζ=0.4;再由图5-55可见,谐振峰值应为Mr=1.37或20lgMr=2.7dB。因
此,在图5-58所示的尼科尔斯图中,需要将Kl=20的开环对数幅相曲线垂直向下平移,使得在
ω1=2.8处,新的对数幅相曲线与2.0dB的等M曲线相切,其对应的谐振峰值Mr=1.27。平移
后,系统的幅值增益降低13dB(4.5倍),故K1值应取为K1=20/45=4.44。此时,由图5-55知,
估算的ζ=0.44,σ3%=21.5%,但稳态误差
却增加得过大,无法令人满意。
为了在稳态误差与超调量要求中折中,取
K1=10,其开环系统对数幅相曲线也标入图5-58
之中。对K1分别为4.44,10和20三种情况,做
系统的单位阶跃响应曲线如图5-59所示,对应
的系统实际性能指标,列入表5-6之中。
综合考虑表中结果,以取K1=10为宜。如果
认为系统的超调量和调节时间(△=2%)仍然不满足设计要求,则必须对系统进行校正,进一步
改变系统对数幅相曲线的形状。
MATLAB文本:
例5-19 磁盘驱动读取系统(续)
图1-17所示的磁盘驱动器是用弹性簧片来悬挂磁头的。当考虑簧片的弹性影响时,磁头位
置控制系统如图5-60所示,磁头与簧片的典型参数:ζ=0.3,ωn=18.85×10³rad/s。要求确定开
环增益K=100时,磁盘驱动读取系统的幅值裕度h(dB)、相角裕度γ及闭环系统的带宽频率
ωb,并估算系统单位阶跃响应的σ%和ts。
解 取Kl=2000,则开环增益K=100,根据对数幅频特性表达式
201g丨Kl(jω+1)Gl(jω)G2(jω)G3(jω)丨
在一些选定的频率点上,画出开环系统对数幅频渐近特性,如图5-61所示。由图可见,在簧片自
然频率ωn附近,幅频特性曲线比渐近线高约5dB。
利用MATLAB软件包,可以画出开环系统的对数频率特性,如图5-62所示。由图5-62可
以确定:h(dB)=22.8dB,γ=37.3°,wc=1200rad/s。
为了确定闭环系统带宽频率ωb,绘制磁盘驱动读取系统准确的闭环对数幅频特性,如图5-
63所示。由图5-63可以确定wb=2000rad/s。显然,只要取Kl=2000,簧片自然频率ωn及ωn附
近的系统谐振频率ωr,就会位于闭环带宽ωb之外,从而使簧片弹性对系统动态性能的影响甚微。
系统单位阶跃响应的动态性能指标,可以利用下列式子估算:
上述估算公式是偏保守的,仅能用于系统的初步设计,实际上,图5-60所示磁头位置控制系统的
单位阶跃响应曲线如图5-64所示。由图可得系统的动态性能
σ%≈31%, ts=9.2ms(△=2%)
(责任编辑:laugh521521)
例5-17 雕刻机控制系统
图5-52(a)所示为雕刻机,其x轴方向配有两台驱动电机,用来驱动雕刻针运动;另外,还各
有一台单独的电机用于在y轴和z轴方向驱动雕刻针。雕刻机x轴方向位置控制系统模型如图5-
52(b)所示。
本例的设计目标是:用频率响应法选择控制器增益K1的值,使系统阶跃响应的各项指标保
持在允许范围内,
解 本例设计的基本思路是:首先选择增益K1的初始值,绘制系统的开环和闭环对数频率
特性曲线,然后用闭环对数频率特性来估算系统时间响应的各项指标。若系统性能不满足设计要
求,则调整K1的取值,重复以上设计过程。最后,用实际系统的仿真来检验设计结果。
现在,取K1=2,则系统开环频率特性为
G(jω)=1/jω(0.5jω+1)(jω+1)
计算G(jω)的幅值与相位,如表5-4所示。根据表5-4可绘制开环对数频率特性图如图5-53所
示。由图可见,系统的相角裕度γ=33°,相应的闭环系统是稳定的。
由闭环频率特性函数
可以画出闭环频率特性曲线,如图5-54所示。
由图可见,系统存在谐振频率,其值ωr=
0.8,相应的谐振峰值
20lgMr=5dB,Mr=1.78
根据图5-54,可以认为系统的主导极点为共
轭复极点。于是,可由图5-55给出的关系曲线,
并由Mr=1.78估计出系统的阻尼比ζ=0.28,
然后进一步得到标准化谐振频率ωr/ωn=0.92。
因为已求出ωr=0.8,故无阻尼自然频率
ωn=0.8/0.92=0.87
于是,雕刻机控制系统的二阶近似模型应为
根据近似模型,可以估算出系统的超调量为
最后,按实际三阶系统进行仿真,其单位阶
跃响应如图5-56所示,得到σ%=39%,tp=4s,
ts=l6s。结果表明,二阶近似模型是合理的,可以
用来调节系统的参数。在本例中,如果要求更小
的超调量,应取K1<2,然后重复以上设计过程。
MATLAB文本:
例5-18 遥控侦察车速度控制
图5-57是用于执行联合国维和使命的一种遥控侦察车模型及其速度控制系统结构图。其
中,R(s)为预期速度,由无线电指令传递给侦察车;扰动N(s)代表了路面上的颠簸冲击,本倒的
设计要求是用频率响应法选择控制器增益K1,使侦察车速度控制系统的单位阶跃响应有较小的
稳态误差和超调量。
解 首先考虑保证系统稳定性的K1值范围。系统开环传递函数
显然,系统为0型系统,在阶跃输入作用下存在稳态误差,其静态位置误差系数
Kp=0.5K1
由于图5-57(b)为单位反馈系统,因此其闭环特征方程为
D(s)=(s+1)(s²+2s+4)+K1(s+2)=s³+3s²+(6+K1)s+(4+2K1)=0
列劳斯表如下:
根据劳斯稳定判据可知:使闭环系统稳定的K1值范围为K1>0。
其次考虑系统在单位阶跃输入作用下的稳态误差
显然,K1值越大,ess(∞)越小。若取K1=20,则ess(∞)=0.09。为了选择合适的K1值,令K1=
20,则
表5-5给出了在0≤ω≤6范围内,典型频率点上的开环对数频率特性的数据。而图5-58则
给出了系统相应的尼科尔斯图,图中标注了K1=20时的G(jω)曲线。由图可见,系统的谐振峰值
Mr=12dB,或者Mr=4。根据求得的Mr=4,利用式(5-121)
可得系统的相角裕度γ=14.5°,表明此时系统的阶跃响应为欠阻尼响应,于是,可将系统近似为
振荡二阶系统,故可由式(5-123)或图5-51求得系统阻尼比ζ=0.13。系统单位阶跃响应的最大
超调量可估算为
为了减小超调量,应该减小系统的增益,假定要求σ%≤25%,则由图3-13可知,系统共轭主
导极点的阻尼比应为ζ=0.4;再由图5-55可见,谐振峰值应为Mr=1.37或20lgMr=2.7dB。因
此,在图5-58所示的尼科尔斯图中,需要将Kl=20的开环对数幅相曲线垂直向下平移,使得在
ω1=2.8处,新的对数幅相曲线与2.0dB的等M曲线相切,其对应的谐振峰值Mr=1.27。平移
后,系统的幅值增益降低13dB(4.5倍),故K1值应取为K1=20/45=4.44。此时,由图5-55知,
估算的ζ=0.44,σ3%=21.5%,但稳态误差
却增加得过大,无法令人满意。
为了在稳态误差与超调量要求中折中,取
K1=10,其开环系统对数幅相曲线也标入图5-58
之中。对K1分别为4.44,10和20三种情况,做
系统的单位阶跃响应曲线如图5-59所示,对应
的系统实际性能指标,列入表5-6之中。
综合考虑表中结果,以取K1=10为宜。如果
认为系统的超调量和调节时间(△=2%)仍然不满足设计要求,则必须对系统进行校正,进一步
改变系统对数幅相曲线的形状。
MATLAB文本:
例5-19 磁盘驱动读取系统(续)
图1-17所示的磁盘驱动器是用弹性簧片来悬挂磁头的。当考虑簧片的弹性影响时,磁头位
置控制系统如图5-60所示,磁头与簧片的典型参数:ζ=0.3,ωn=18.85×10³rad/s。要求确定开
环增益K=100时,磁盘驱动读取系统的幅值裕度h(dB)、相角裕度γ及闭环系统的带宽频率
ωb,并估算系统单位阶跃响应的σ%和ts。
解 取Kl=2000,则开环增益K=100,根据对数幅频特性表达式
201g丨Kl(jω+1)Gl(jω)G2(jω)G3(jω)丨
在一些选定的频率点上,画出开环系统对数幅频渐近特性,如图5-61所示。由图可见,在簧片自
然频率ωn附近,幅频特性曲线比渐近线高约5dB。
利用MATLAB软件包,可以画出开环系统的对数频率特性,如图5-62所示。由图5-62可
以确定:h(dB)=22.8dB,γ=37.3°,wc=1200rad/s。
为了确定闭环系统带宽频率ωb,绘制磁盘驱动读取系统准确的闭环对数幅频特性,如图5-
63所示。由图5-63可以确定wb=2000rad/s。显然,只要取Kl=2000,簧片自然频率ωn及ωn附
近的系统谐振频率ωr,就会位于闭环带宽ωb之外,从而使簧片弹性对系统动态性能的影响甚微。
系统单位阶跃响应的动态性能指标,可以利用下列式子估算:
上述估算公式是偏保守的,仅能用于系统的初步设计,实际上,图5-60所示磁头位置控制系统的
单位阶跃响应曲线如图5-64所示。由图可得系统的动态性能
σ%≈31%, ts=9.2ms(△=2%)
(责任编辑:laugh521521)
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