根轨迹绘制的基本法则

2016-01-13 14:51 作者:管理员11 来源:未知 浏览: 字号:
根轨迹绘制的基本法则
    本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法,重点放在基本法则的叙述和
证明上。这些基本法则非常简单,熟练地掌握它们,对于分析和设计控制系统是非常有益的。
    在下面的讨论中,假定所研究的变化参数是根轨迹增益K',当可变参数为系统的其他参数
时,这些基本法则仍然适用。应当指出的是,用这些基本法则绘出的根轨迹,其相角遵循180°+
2kπ条件,因此称为180°根轨迹,相应的绘制法可以叫做180°根轨迹的绘制法则。
1.绘制根轨迹的基本法则
    法则l根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点,终于开环零点。
    证明根轨迹起点是指根轨迹增益K'=O的根轨迹点,而终点则是指K'→∞的根轨迹点,
设闭环传递函数为式(4-6)形式,可得闭环系统特征方程为


所以根轨迹必终于开环零点。
    在实际系统中,开环传递函数分子多项式次数辨与分母多项式次数n之间,满足不等式
m≤n,因此有n-m条根轨迹的终点将在无穷远处。的确,当s→∞时,式(4-11)的模值关系可以
表示为

如果把有限数值的零点称为有限零点,而把无穷远处的零点叫做无限零点,那么根轨迹必终止于
开环零点。在把无穷远处看为无限零点的意义下,开环零点数和开环极点数是相等的。
    在绘制其他参数变化下的根轨迹时,可能会出现m>n的情况。当K'=0时,必有m-n条
根轨迹的起点在无穷远处。因为当s→∞时,有


如果把无穷远处的极点看成无限极点,于是我们同样可以说,根轨迹必起于开环极点。图4-4是
表示根轨迹的起点和终点的图形。

根轨迹的起点和终点表示图
    法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极
点数以中的大者相等,它们是连续的并且对称于实轴。
    证明 按定义,根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时,闭环特征方程式的根在s平面
上的变化轨迹。因此,根轨迹的分支数必与闭环特征方程式根的数目相一致。由特征方程(4-11)
可见,闭环特征方程根的数目就等于m和n中的大者,所以根轨迹的分支数必与开环有限零、极
点数中的大者相同。
    由于闭环特征方程中的某些系数是根轨迹增益K'的函数,所以当K’从零到无穷大连续变
化时,特征方程的某些系数也随之而连续变化,因而特征方程式根的变化也必然是连续的,散根
轨迹具有连续性。
    根轨迹必对称于实轴的原因是显然的,因为闭环特征方程式的根只有实根和复根两种,实根
位于实轴上,复根必共轭,而根轨迹是根的集合,因此根轨迹对称于实轴。
    根据对称性,只需做出上半s平面的根轨迹部分,然后利用对称关系就可以画出下半s平面
的根轨迹部分。
    法则3 根轨迹的渐近线。当开环有限极点数扎大于有限零点数m时,有n一m条根轨迹分
支沿着与实轴交角为φa、交点为σa的一组渐近线趋向无穷远处,且有

    证明  渐近线就是s值很大时的根轨迹,因此渐近线也一定对称于实轴.将开环传递函数写
成多项式形式,得



    在s平面上,式(4-17)代表直线方程,它与实轴的交角为
φa,交点为φa。当量取不同值时,可得n-m个φa角,而φa不
变,因此根轨迹渐近线是n—m条与实轴交点为φa,交角为φa
的一组射线,如图4-5所示(图中只画了一条渐近线)。
    下面举例说明根轨迹渐近线的做法,设控制系统如图
4-6(a)所示,其开环传递函数
   G(s)=K·(s+1)/s(s+4)(s²+2s+2)
试根据已知的三个基本法则,瑭定绘制根轨迹的有关数据。
    首先将开环零、极点标注在s平面的直角坐标系上,以
“×”表示开环极点,以“○”表示开环零点,如图4-6(b)所示。

根轨迹渐进线
注意,在根轨迹绘制过程中,由于需要对相角和模值进行图解测量,所以横坐标与纵坐标必须采
用相同的坐标比例尺。
    由法则1,根轨迹起子G(s)的极点pl=0,p2=-4,p3=-l+j和p4=-1-j,终于G(s)的
有限零点z1=-1以及无穷远处。
    由法则2,根轨迹的分支数有4条,且对称于实轴。
    由法则3,有n-m=3条根轨迹渐近线,其交点为


法则4  根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一区域,若其右边开环实数零、极点个数之和


为奇数,则该区域必是根轨迹.
    证明 设开环零、极点分布如图4-7所示.图
中,s0是实轴上的某一个测试点,φj(j=1,2,3)是
各开环零点到s0点向量的相角,θi(i=1,2,3,4)
是各开环极点到s0点向量的相角。由图4-7可见,
复数共轭极点到实轴上任意一点(包括s0)的向量
相角和为2π,如果开环系统存在复数共轭零点,
情况同样如此。因此,在确定实轴上的根轨迹时,
可以不考虑复数开环零、极点的影响。由图还可
见,s0点左边开环实数零、极点到Sa点的向量相
角为零,而s0点右边开环实数零、极点到S0点的
向量相角均等于π。如果令∑φj代表s0点之右所有开环实数零点到s0点的向量相角和,∑θi代
表s0点之右所有开环实数极点到s0点的向量相角和,那么s0点位于根轨迹上的充分必要条件,是
下列相角条件成立:
    ∑φi-∑θi=(2k+l)π
式中,2k+l为奇数。
    在上述相角条件中,考虑到这些相角中的每一个相角都等于π,而π与-π代表相同角度,因
此减去耳角就相当于加上π角。于是,s0位于根轨迹上的等效条件是
    ∑φj十∑θ=(2k+l)π
式中2k+l为奇数。于是本法则得证。
    对于图4-7系统,根据本法则可知,z1和p1之间、z2和p4之间,以及z3和-∞之间的实轴部
分,都是根轨迹的一部分。
    法则5 根轨迹的分离点与分离角。两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开
的点,称为根轨迹的分离点,分离点的坐标d是下列方程的解:

式中,zj为各开环零点的数值;pi为各开环极点的数值;分离角为(2k+1)π/l。
    在证明本法则之前,需要介绍一下关于分离点的特性,因为根轨迹是对称的,所以根轨迹的
分离点或位于实轴上,或以共轭形式成对出现在复平面中。一般情况下,常见的根轨迹分离点是
位于实轴上的两条根轨迹分支的分离点。如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间,其中
一个可以是无限极点,则在这两个极点之间至少存在一个分离点;同样,如果根轨迹位于实轴上
两个相邻的开环零点之间,其中一个可以是无限零点,则在这两个零点之间也至少有一个分离
点。参见图4-8。

实轴上根轨迹的分离点

    根轨迹在s平面上相遇,说明闭环特征方程有重根出现。设重
根为d,根据代数中重根条件,有


    这里不加证明地指出:当Z条根轨迹分支进入并立即离开分离点时,分离角可由(2k+1)π/l
决定,其中量=0,1,…,l-1。需要说明的是,分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开
分离点的切线方向之间的夹角。显然,当l=2时,分离角必为直角。
    例4-1设系统结构图与开环零、极点分布如图4-9所示,试绘制其概略根轨迹。
    解 由法则4,实轴上区域[0,-1]和[-2,-3]是根轨迹,在图4-9中以粗实线表示。

例4-1系统的结构图(a)及其根轨迹图(b)
    由法则2,该系统有三条根轨迹分支,且对称于实轴。
    由法则l,一条根轨迹分支起子开环极点(0),终于开环有限零点(-1),另外两条根轨迹分
支起于开环极点(-2)和(-3),终于无穷远处(无限零点)。
    由法则3,两条终于无穷的根轨迹的渐近线与实轴交角为90°和270°,交点坐标为


因方程两边不等,所以d=-2.5不是欲求的分离点坐标,现在重取d=-2.47,方程两边近似相
等,故本例d≈-2.47。最后嘶出的系统概略根轨迹,如图4-9(b)所示,
    例4-2 设单位反馈系统的开环传递函数为


试绘制闭环系统根轨迹。
    解 首先将G(s)写成零、极点标准形式


本例 K'=K.将开环零、极点嘶在坐标比例尺相同的s平面中,如图4-10所示。
    由法则1~5可知,本例有两条根轨迹分支,它们分别起子开环复数极点(-1士j),终于有限
零点(-2)和无限零点。因此,在[-2,-∞)的实轴上,必存在一个分离点d,其方程为


例4-2系统的根轨迹图
这是一个二阶分离点方程,可以用解析法求得d=-3.414
或d=-0.586,显然应取d=-3.414
    应用相角条件,可以画出本例系统的准确根轨迹,如
图4-10所示,其复数根轨迹部分是圆的一部分。从图4-8
和图4-10可以发现:由两个极点(实效极点或复数极点)
和一个有限零点组成的开环系统,只要有限零点没有位于
两个实数极点之间,当K'从零变到无穷时,闭环根轨迹的复数部分,是以有限零点为圆心,以有
限零点到分离点的距离为半径的一个圆,或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
    应当指出,如果开环系统无有限零点,则在分离点方程(4-20)中,应取

另外,分离点方程(4-20),不仅可用来确定实轴上的分离点坐标d,而且可以用来确定复平面上
的分离点坐标,只有当开环零、极点分布非常对称时,才会出现复平面上的分离点。此时,一般可
采用求分离点方程根的方法来确定所有的分离点。
    实质上,根轨迹的分离点坐标,就是K’为菜一特定值时,闭环系统特征方程的实数等根或
复数等根的数值。
    法则6 根轨迹的起始角与终止角。根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角,称
为起始角,以θpi标志;根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角.称为终止角,以φzi表
示。这些角度可按如下关系式求出


    证明 设开环系统有m个有限零点,n个有限极点。在十分靠近待求起始角(或终止角)的复
数极点(或复数零点)的根轨迹上,取一点S1。由于Sl无限接近于求起始角的复数极点pi(或求终
止角的复数零点Zi),因此,除pi(或zi)外,所有开环零、极点到S1点的向量相角φzjs1和θpjs1,都可
以用它们到pi(或zi)的向量相角φzjpi(或φzjzi)和θpjpi(或θpjzi)来代替,而pi(或zi)到s1点的向量
相角即为起始角θpi(或终止角φzi)。根据S1点必满足相角条件,应有


移项后,立即得到式( 4-23)和式(4-24).应当指出,在根轨迹的相角条件中,(2k十1)π
与一(2k十1)π是等价的,所以为了便于计算起见,在上面最后两式的右端有的用一(2k十1)π
表示。
例4-3 设系统开环传递函数为

试绘制该系统概略根轨迹。
    解将开环零、极点画在图4-11中。按如下典型步骤绘制根轨迹:
    1)确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域[0,-1.5]和
[-2.5,-∞]为根轨迹。
    2’确定根轨迹的渐近线。本例n=4,m=3.故只有一条
180°的渐近线,它正好与实轴上的根轨迹区域[-2.5,-∞]
重合,所以在n-m=1的情况下,不必再去确定根轨迹的渐
近线。
    3)确定分离点。一般说来.如果根轨迹位于实轴上一个
开环极点和一个开环零点(有限零点或无限零点)之间,则在
这两个相邻的零、极点之间,或者不存在任何分离点,或者同
时存在离开实轴和进入实轴的两个分离点。本例无分离点。
    4)确定起始角与终止角。本例概略根轨迹如图4-11所
示,为了准确函出这一根轨迹图,应当确定根轨迹的起始角
和终止角的数值。先求起始角。作各开环零、极点到复数极点
(-0.5+jl.5)的向量,并测出相应角度,如图4-12 (a)所示。
按式(4-23)算出根轨迹在极点(-0.5+jl.5)处的起始角为
    θp2=180°+(φ1+φ2+φ3)-(θ1+θ3+θ4)=79°
根据对称性,根轨迹在极点(-0.5-jl.5)处的起始角为-79°。
    用类似方法可算出根轨迹在复数零点(-2+j)处的终止角为149.5°。各开环零、极点到
(-2+j)的向量相角如图4-12(b)所示。
例4-3系统的概略根轨迹图
例4-3根轨迹的起始角(a)和终止角(b)
        法则7 根轨迹与虚轴的交点,若根轨迹与虚轴相交,则交点上的K'值和ω值可用劳斯判
据确定,也可令闭环特征方程中的s=jω,然后分别令其实部和虚部为零而求得。
    证明若根轨迹与虚轴相交,则表示闭环系统存在纯虚根,这意味着K'的数值使闭环系统
处于临界稳定状态。因此令劳斯表第一列中包含K'的项为零,即可确定根轨迹与虚轴交点上的
K'值。此外,因为一对纯虚根是数值相同但符号相异的根,所以利用劳斯表中s²行的系数构成
辅助方程,必可解出纯虚根的数值,这一数值就是根轨迹与虚轴交点上的ω值。如果根轨迹与正
虚轴(或者负虚轴)有一个以上交点,则应采用劳斯表中幂大于2的s偶次方行的系数构造辅助
方程。
    确定根轨迹与虚轴交点处参数的另一种方法,是将s=jω代入闭环特征方程,得到
    1+ G(jω)H(jω)=0
令上述方程的实部和虚部分别为零,有
    Re[l+G(jω)H(jω)]=0
和  Im[l+G(jω)H(jω)]=0
利用这种实部方程和虚部方程,不难解出根轨迹与虚轴交点处的K’值和ω值。
    例4—4设系统开环传递函数为
       G(s)H(s)=K·/s(s+3)(s²+2s+2)
试绘制闭环系统的概略根轨迹。
    解 按下述步骤绘制概略根轨迹:
    1)确定实轴上的根轨迹。实轴上[0,-3]区域必为根轨迹。
    2)确定根轨迹的渐近线。由于n-m=4,故有四条根轨迹渐近线,其
             σa=-1.25;   φa=±45°,±135°
    3)确定分离点。本例没有有限零点,故


用试探法算出d≈-2.3。
    4)确定起始角。量测各向量相角,算得θpi=-71.6°。
    5)确定根轨迹与虚轴交点。本例闭环特征方程式为
 
令劳斯表中s1行的首项为零,得K’=8.16。根据s²行的系数,得辅助方程
    (34/5)s²+K·=0
代入K·=8.16并令s=jw,解出交点坐标w=士1.1。
    根轨迹与虚轴相交时的参效,也可用闭环特征方程直接求出,将s=jw代入特征方程,可得
实部方程为
实部方程为
    ω的4次方-8ω²+K’=0
虚部方程为
    - 5ω³+ 6ω=0
    在虚部方程中,ω=0显然不是欲求之解,因
此根轨迹与虚轴交点坐标应为ω=±1.1。将所
得ω值代入实部方程,立即解出K’=8.16。所得
结果与劳斯表法完全一样。整个系统概略根轨迹
如图4-13所示。
    根据以上介绍的七个法则,不难绘出系统的
概略根轨迹,为了便于查阅,所有绘制法则统一
归纳在表4-1之中。

例4-4的开环零、极点分布于根轨迹
根轨迹图绘制法则
法则8 根之和。系统的闭环特征方程在n>m的一般情况下,可以有不同形式的表示

式中,si为闭环特征根.
    当n一m≥2时,特征方程第二项系数与K’无关,无论K’取何值,开环以个极点之和总是等
于闭环特征方程n个根之和


在开环极点确定的情况下,这是一个不变的常数。所以,当开环增益K增大时,若闭环某些根在s
平面上向左移动,则另一部分根必向右移动。
  此法则对判断根轨迹的走向是很有用的。
2 闭环极点的确定
  对于特定K’值下的闭环极点,可用模值条件确定.一般说来,比较简单的方法是先用试探
法确定实数闭环极点的数值,然后用综合除法得到其余的闭环极点。如果在特定K'值下,闭环
系统只有一对复数极点,那么可以直接在概略根轨迹图上,用上述方法获得要求的闭环极点.
    例4-5 在图4-13上,试确定K’=4的闭环极点。
    解 图4-13上的根轨迹是准确的,由于m=0,n=4,所以模值条件为


在实轴上任选s点,经过几次简单试探,找出满足上式的两个闭环实数极点为
    Sl=-2,   s2=-2.51
各向量模值的取法,见图4-14。



应用综合除法求得
    s3=-0.24+j0.86,    s4=-0.24-j0.86
在相除过程中,通常不可能完全除尽,因为在图解中不可避免地要引进一些误差。
    结束本节前,我们在图4-15中画出了几种常见的开环零、极点分布及其相应的根轨迹,供绘
制概略根轨迹时参考。应当指出,由于MATLAB软件包功能十分强大,运行相应的MATLAB
文本,可以方便地获得系统准确的根轨迹图,以及根轨迹上特定点的根轨迹增益,具体使用方法
请参见本书附录C。

开环零、极点分布及相应的根轨迹图
(责任编辑:laugh521521)
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