控制系统的时域数学模型

2016-01-11 14:48 作者:管理员11 来源:未知 浏览: 字号:
控制系统的时域数学模型
    在控制系统的分析和设计中,-首先要建立系统的数学模型,控制系统的数学模型是描述系统内部物理量(或变量)之间。关系的数学表达式。在静态条件下(即变量各阶导数为零),描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型;而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。
如果巳知输入量及变量的初始条件,对微分方程求解,就可以得到系统输出量的表达式,并由此可对系统进行性能分析.因此,建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作。
    建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法两种。,分析法是对系统各部分的运动机理进行分析,根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。例如,电学中有基尔霍夫定律,力学中有牛顿定律,热力学中有热力学定律等。实验法是人为地给系统施加某种测
试信号,记录其输出响应,并用适当的数学模型去逼近,这种方法称为系统辨识。近年来,系统辨识已发展成一门独立的学科分支。本章研究用分析法建立系统数学模型_的方法.。  
    在自动控制理论中,数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程;复数域中有传递函数、结构图;频域中有频率特性等。“本章只研究微分方程、传递。函数 和结构图等数学模型的建立和应用,其余几种数学模型将在以后各章中予以详述:
    本节着重研究描述线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的建空和.枣解方法j.
  1.线性元件的微分方程
    现举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元件等微分方程的列写。
    例Z-I图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网  络,试列写以ui(t)为输入量,以q。(t)为输出量的网络微分方程一
  解设回路电流为i(t),曲基尔霍夫定律可写出回路方程为

消去中间变量i(t),便得到描述网络输入输出关系的微分方程为
(2-1)
显然,这是一个二阶线性微分方程,也就是图2-1无源网络的时域数学模型。
RLC无源网络
    例2-2试列写图2-2所示电枢控制直流电动机的微分方程,要求取电枢电压“。(t)为输入量,电动机转速‰(£)为输出量。图中R。,厶分别是电枢电路的电阻和电感;M.是折合到电动机
轴上的总负载转矩。激磁磁通设为常值。
电枢控制直流电动机原理图
  速度控制系统  解  电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能,也就是由输入的电枢电压‰(t)在电枢回路中产生电枢电流厶(£),再由电流‘(t):与激磁磁通相互作用产生电磁转矩Mm(t),从而拖动负载运动,因此,直流电动机的运动方
  程可由以下三部分组成-    电枢回路电压平衡方程

小与激磁磁通及转速成正比,方向与电枢电压Ua(t)  相反,即Ea=ceWw(t)是反电势系数。
    电磁转矩方程 
      Mm (t)  = Cmia (t)         (2-3)
  式中,cm是电动机转矩系数;眠(f)是电枢电流产生的电磁转矩。
    电动机轴上的转矩平衡方程

式中,fm是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数;厶是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量.
    由式(2-2)~(2-4)中消去中间变量ia(t),Ea及Mm(t),便可得到以Wm(t)为输出量,ua(t)为输
入量的直流电动机微分方程。

  在工程应用中,由于电枢电路电感La较小,通常忽略不计,因而式(2-5)可简化为

    如果电枢电阻风和电动机的转动惯量以都很小可忽略不计时,式(2-6)还可进一步简化为
                                Cewm(t)= Ua(t)              (2-7)
这时,电动机的转速%(t)与电枢电压砧。(£)成正比,于是,电动机可作为测速发电机使用.
  弹簧一质量一阻尼器 机攘位移系统
    例2-3  图2-3是弹簧一质量一阻尼器机械位移系统。试列写质量  埘在外力F(t)作用下(其中重力略去不计).位移r(t)的运动方程。
    解  设质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为r(t) ,dx(t)/dt,d2x(t)/dt2 。由牛顿运动定律有
  
式中.F1(t) =f.dr(t)/dt是阻尼器的阻尼力,其方向与运动方向相反‘,大小与运动速度成比例,f是阻尼系数;F2(t) =Kx(t)是弹簧的弹力,其方向与运动方向相反,其大小与位移成比例.K是弹性系数。将Fl(z)和F2(t)代入式(2-8)中,经整理后即得该系统的微分方程为

    例20试列写图2-4齿轮系的运动方程.图中齿轮1和齿轮2的转速、齿数和半径分别用
  吡,五,r1和地,z2,r2表示,其粘性摩擦系数及转动惯量分别是fi,Jl和厂2,Jz.齿轮1和齿轮2
  的原动转矩及负载转矩分别是Mm,M1和M2,Me。    
齿轮系
    解控制系统的执行元件与负载之间往往通过齿轮系进行运动传递,以便实现减速和增大力矩的目的。在齿轮传动中,两个啮合齿轮的线速度相同,传送的功率亦相同,因此有关系式

根据力学中定轴转动的动静法,可分别写出齿轮1和齿轮2的运动方程为

则得齿轮系微分方程为

式中J,,及^以分别是折合到齿轮1的等效转动惯量:等效粘性摩擦系数及等效负载转矩。显然,折算的等效值与齿轮系的速比有关,速比越大,即22/21值越大,折算的等效值越小。如果齿轮系速比足够大,则后级齿轮及负载的影响便可以不予考虑.
    综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下:
    1)根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其输入量和输出量。
    2)分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相应的微分方程.
    3)消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方程,便是元件时域的数学模型。一般情况下,应将微分方程写为标准形式,即与输入量有关的项写在方程的右端,与输出量有关的项写在方程的左端,方程两端变量的导数项均按降幂排列。
2.控制系统微分方程的建立
    建立控制系统的微分方程时,一般先由系统原理图画出系统方块图,并分别列写组成系统各元件的微分方程I然后,消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。列写系统各元件的微分方程时,一是应注意信号传递的单向性,即前一个元件的输出是后一个元件
的输入,一级一级地单向传送,二是应注意前后连接的两个元件中,后级对前级的负载效应,例如,无源网络输入阻抗对前级的影响,齿轮系对电动机转动惯量的影响等。
    例2-5试列写图2-5所示速度控制系统的微分方程。
速度控制系统
 
    解控制系统的被控对象是电动机(带负载),系统的输出量是转速叫,输入量是t。控制系统由给定电位器、运算放大器I(含比较作用)、运算放大器I(含RC校正网络)、功率放大器、直流电动机、测速发电机、减速器等部分组成。现分别列写各元部件的微分方程:
    运算放大器   输入量(即给定电压)tc,与速度反馈电压“,在此合成,产生偏差电压并经放大,即
          u1=k1(ui-ut)=k1ue              (2-22)
式中Kl=R2/R1是运算放大器I的比例系数。
运算放大器Ⅱ  考虑RC校正网络,u2,u1之间的微分方程为

式中,K2= Rz/Ri是运算放大器I的比例系数}r-R1C是微分时间常数,  磁烹塾盔器本系统采用晶闸管整流装置,它包括触发电路和晶闸管主回路。忽略晶闸管控制电路的时间滞后,其输入输出方程为 
                       ua=k3u2                        (2-24)
式中K3为比例系数。
直流电动机直接引用例2-2所求得的直流电动机微分方程式(2-6)




 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
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