4.13.4惯性力系的主矢和主矩
(1)惯性力系的主矢
质点系内每个质点加上各自的惯性力,这些惯性力形成一个力系,称为惯性力系。可以利用静力学的力系简化理论,求出惯性力系的主矢和主矩。
以FIR表示惯性力系的主矢,由质心运动定理有
上式对任何质点系做任意运动均成立。
(2)惯性力系的主矩
①刚体平移刚体平移时,每一瞬时刚体内任一质点i的加速度ai与质心C的加速度ac相同,有ai=ac,刚体的惯性力系组成一平行力系,任选一点O为简化中心,主矩用MIO表示,有
式中,rc为质心C到简化中心O的矢径,此主矩一般不为零.若选质心C为简化中心,主矩以Mic表示,则rc=0,有MIC=0。
结论:平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力;其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。
②刚体定轴转动刚体定轴转动时,设刚体的角速度为w,角加速度为a,刚体内任一质点的质量为mi,到转轴的距离为ri ,则刚体内任一质点的惯性力为FIi=一miai。为简单起见,在转轴上任选一点O为简化中心,因为力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴的矩,所以建立直角坐标系如图4-61所示,质点的坐标为(xi + yi , zi),现在分别计算惯性力系对x,y,z轴的矩,分别以MIx, MIy, MIz表示。
惯性力系对x轴的矩为
称其为对于z轴的惯性积,它取决于刚体质量对于坐标轴的分布情况。于是,惯性力系对x轴的矩为
MIx==Jxza一Jyzw² (4一173)
同理可得,惯性力系对于y轴的矩为
MIy=Jyza+Jxzw² (4-174)
惯性力系对于z轴的矩为
综上可得,刚体定轴转动时,惯性力系向转轴上一点O简化的主矩为
MIO =MIci +MIyj +MIzk
如果刚体有质量对称平面且该平面与转轴z垂直,简化中心O取为此平面与转轴z的交点,则
惯性力系简化的主矩为
MIo=MIz=一Jza (4-176)
结论:当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时,惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积,方向与质心加速度方向相反,作用线通过转轴;这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积,转向与角加速度反向。
③刚体作平面运动(平行于质量对称平面)与刚体绕定轴转动相似,刚体作平面运动时其上各质点的惯性力组成的空间力系,可简化为在质量对称平面内的平面力系。
取质量对称平面内的平面图形如图4-62所示。由运动学知,平面图形的运动可分为随基点的平移与绕基点的转动。取质心C为基点,设质心的加速度为ac,绕质心转动的角速度为w,角加速度为a。与刚体绕定轴转动相似,此时惯性力系向质心C简化的主矩为
MIc=一Jca (4-177)
式中,Jc为刚体对通过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量。
结论:有质量对称平面的刚体,平行于此平面运动时,刚体的惯性力系简化为在对称平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心,其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积,其方向与质心加速度方向相反;这个力偶的矩等于对通过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积,转向与角加速度相反。
(责任编辑:laugh521521)
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